Квадрат и треугольник

В этой теме речь идёт о соотношении площадей квадрата
и треугольника в двух случаях.
1) треугольник вписан в квадрат и
2) квадрат вписан в треугольник
Теперь я дам пояснение тому, что подразумевается под
соотношением площадей этих геометрических фигур.
Если треугольник вписан в квадрат, то его площадь естественно
меньше площади квадрата, но она может иметь максимум.
Легко доказывается, что максимальная площадь вписанного
в квадрат треугольника составляет ровно 50%. Это максимум.
Невероятно! Но если эту ситуацию обратить - теперь квадрат
вписан в треугольник, то максимальная площадь квадрата
составляет ровно 50% от площади треугольника. В этом случае
треугольник должен быть прямоугольным, равнобедренным
и квадрат занимает прямой угол. Мне не удалось пока аналитически
это доказать. Но я составил программу, которая произвела расчёты
для сотен тысяч треугольников и дала вот такой результат.
Но я был бы рад если бы кто-то указал на какую-нибудь возможность
аналитического решения этой задачи
Удачи вам всем!

0

Но я составил программу, которая произвела расчёты
для сотен тысяч треугольников и дала вот такой результат. - можно подробности алгоритма?

1

Алгоритм:
1) Квадрат задан координатами A(1;0), B (1;1), C(2;1), D(2;0)
2) одна вершина треугольника задана жёстко ее координаты (0;0)
3) через эту вершину проходит линия y=x
4) на этой линии расположена одна сторона треугольника
5) на этой же линии и вершина квадрата
6) вторая сторона треугольника ось OX (на ней стоит квадрат)
7) вторая вершина треугольника величина переменная, она может
перемещаться от квадрата до 100 ( в большем значении нет смысла)
8) третья вершина треугольника есть решение системы двух уравнений
с двумя неизвестными. Основным условием является то, что квадрат
вписан в треугольник, а не просто занимает какое-то место.
Система такова:
y=x
(x-2)/(x-b)=1-y
где b - переменный параметр, от него зависит форма треугольника
при этом квадрат все время остаётся вписанным в треугольник
9) генератор случайных чисел задаёт параметр b
10) надо сказать, что геометрический смысл этого параметра длина
стороны треугольника на которой стоит квадрат.
11) вычисляется площадь треугольника
12) это площадь сравнивается с другой переменной, которая хранит
Текущую минимальную площадь треугольника
13) если новое значение площади меньше минимального, то это новое
значение запоминается как новое минимальное
14) заодно запоминаются координаты вершин этого треугольника, чтобы
можно было его построить
15) переходим на пункт 9)
16) все повторяется сотни тысяч раз
17) строится треугольник
18) это прямоугольный равнобедренный треугольник
19) и печатается значение его площади 2,000001
20) единичка - это величина абсалютной погрешности вычислений
Вот и все
То есть основной принцип такой
1. Задается квадрат единичной площади
2. Вокруг него описывается треугольник
Удачи вам!

0

Предыдущий алгоритм был усовершенствован
В новом алгоритме квадрат получил возможность
перемещаться по оси ОХ. И получен новый результат
(Смотрите рисунок)
Итак, новая программа подтвердила старый результат,
что минимальная площадь описанного вокруг квадрата
треугольника ровно в 2 раза больше площади квадрата.
Что нового?? Таких треугольников оказалось целое множество,
а не только прямоугольный. Это все треугольники имеющие
высоту равную 2 и вписанные в большой квадрат со стороной 2
Последнее легко доказывается аналитически. И это побочный
результат этой темы.
Главное в том, что было сказано вначале:
Максимальная площадь вписанного в треугольник квадрата = 50% !!
Удачи вам!

Миниатюры

 

0

Сообщение от gehh Но я был бы рад если бы кто-то указал на какую-нибудь возможность аналитического решения этой задачи

Можно пойти таким путем. Зафиксировать квадрат и искать описанный вокруг него треугольник минимальной площади

1

Спасибо!
Я конечно думал об этом, но встали трудности
в виде систем уравнений и функций от нескольких
переменных. А математический анализ функций нескольких
переменных мне не по зубам и я выбрал программирование.
Спасибо!

0

Сообщение от gehh Максимальная площадь вписанного в треугольник квадрата = 50% !!

Если имеется ввиду 50% от площади треугольника, то это не верно. На самом деле вокруг единичного квадрата можно описать треугольник сколь угодно большой площади.

0

Сообщение от kabenyuk вокруг единичного квадрата можно описать треугольник сколь угодно большой площади.

ИМХО, речь идет треугольнике минимальной площади, описанном вокруг данного квадрата, или, что тоже самое, треугольнике максимальной площади, вписанном в квадрат.

0

Если вокруг квадрата описан треугольник (в указанном выше смысле), то площадь треугольника не меньше удвоенной площади квадрата.

Для доказательства достаточно отразить куски треугольника относительно трех сторон квадрата. Все выкладки на рисунке. На этом рисунке представлены три возможных случая и особенных комментариев не требуется. Также видно, в каком случае выполняется равенство.
tmp.pdf

2

Сообщение от Байт или, что тоже самое,

Спасибо за спасибо, но не могу не высказать своего недоумения. Почему же тоже самое? Треугольник вписать в квадрат можно двумя разными способами, см. картинку.
tmp.pdf

Правда рассуждения сохраняются - надо отражать относительно сторон треугольника куски квадрата (хотя картинки не такие красивые).
Получим, что если треугольник вписан в квадрат (любым способом), то его площадь не больше половины площади квадрата.

0