Скрещивающиеся прямые и тетраэдр

Приветствую, помогите разобраться, задача такая: Заданы уравнения двух скрещивающихся прямых, на которых расположены два противолежащих ребра правильного тетраэдра и нужно найти координаты вершин тетраэдра.


Ну и, собственно, прямые:
Первая задана системой уравнений:
26x - 21y - 19z - 68 = 0
54x - 47y - 41z - 140 = 0

Вторая прямая задана системой уравнений:
x + 15y + 19z + 80 = 0
2x + 7y + 15z - 1 = 0


Я нашёл расстояние между этими прямыми, оно, по логике, должно проходить через середины сторон, но вот что делать дальше я немного недопонимаю, как собственно подойти к координатам вершин?

1

Можно так:

1. Находите не просто расстояние между прямыми, а координаты концов минимального отрезка, соединяющего прямые. Для этого в формуле расстояния между точками выражаем всё через одну переменную, используя уравнения прямых. Дифференцируем по этой переменной, приравниваем нулю, решаем полученное уравнение.
   
2. Этот отрезок является высотой в равнобедренном треугольнике (сечении тетраэдра), у которого основание=а, а бок стороны =(а на корень из трёх пополам). Здесь а - ребро тетраэдра. Решая этот треугольник по т. Пифагора находите , что а=h корней из двух, где h-длина найденного Вами отрезка или расстояние между прямыми. Подставляете в формулу и находите радиус описанной вокруг тетраэдра сферы.
   
3. Решаете систему уравнений, состоящую из уравнений двух прямых и ур-я сферы с центром в середине найденного в 1-ом пункте отрезка радиусом, найденным во втором пункте. Должно получиться 4 решения - в вершинах тетраэдра.

2

Вот ещё один способ решения задачи (см. рис.):

Миниатюры

 

2

Ведь существует соотношение между длиной ребра и расстоянием между противоположными ребрами.
(которое легко выводится)
Если вы нашли расстояние, то узнаете длину ребра, отложите от точек общего перпендикуляра к заданным прямым
по полребра-получите четыре точки-вершины.

0

Да, конечно, не понимаю, зачем мне там сфера понадобилась, с Вашим рисунком всё видится намного проще.

0

Спасибо большое, разобрался.

0

Ролик:

1

Здравствуйте ещё раз, заранее извиняюсь за поднятие, по сути, уже решённого вопроса: сегодня решил довести сею задачу до разумного ответа, но столкнулся с такой проблемой: Я нашёл длины ребёр, середины сторон, вообщем-то осталось только посчитать координаты вершины, но, к сожалению, координаты получаются уж слишком некрасивые(хотя у середины координаты достаточно симпатичные( 6, -3.5, 8.5)), что меня немного смутило.

Сейчас попробую объяснить как я считал: Мне известно уравнение прямой, координаты середины и длина стороны, но я с ходу не сообразил, как из этих данных сразу найти координаты концов стороны(я более чем уверен, что это несложно - но думаю я, скорее всего, в неправильном направлении).Наконец, примерно понял, как найти концы, составив систему из 4 уравнений, но увидел более простой способ:

Если смотреть по рисунку то я нахожу длину AN (зная ребро - это делается в одно действие), а далее вот так:

Я знаю координаты точки N - они получились равны (6, -3.5, 8.5), длину AN - она равна (9 корней из 6)/2 и уравнение AC. (x-25/92=y+7/23=z/-23).И я по формуле длины AN получаю : (x-6)^2 + (y+3.5)^2 + (z-8.5)^2 = (9 корней из 6/2)^2, где
x= 92t + 25
y= 23t - 7
z= -23t

Подставляя x,y,z получаем квадратное уравнение по t (9522t^2+3335t + 251.75 = 0), откуда я хочу выразить t(их будет 2, для вершин A и C соотв.) и подставить в X,Y,Z - найдя тем самым координаты вершин A и C, но из квадратного уравнения t получается очень страшным, ошибок в арифметике - нет, а симпатичная координаты середины и длина между скрещ.прямыми(которая равна 9) - как бы намекают на красивые координаты вершин.

Итак, собственно сам вопрос: Правильно ли я нахожу координаты вершин и самое главное: как можно проще их найти, зная уравнение прямой, длину вектора и координаты его середины, без всяких там высот и прочего(чисто геометрически понятно, что это можно сделать, ведь зная направление, длину и середину мы сможем отложить половину длины вектора от середины по направлению прямой и получить искомую координату, но как это сделать на практике?)

0

Параметрическое уравнение прямой с единичным направляющим вектором позволяет, непосредственно, найти
расстояние от точки, фигурирующей в уравнении прямой до любой точки на прямой.Это расстояние равно значению
параметра в уравнении прямой (с соответствующим знаком).

0

А в моём решении присутствует ошибка?

0

Для этого- его нужно проверить.

0

И да, как то, что Вы написали поможет найти мне координаты концов?В уравнении ведь будет 3 неизвестных(соотв.координаты точки).Я представляю как решить эту задачу с помощью системы уравнений, но неужели нет более быстрого способа?Есть уравнение прямой, есть середина вектора, есть длина вектора - требуется найти координаты концов.

Добавлено через 35 минут
Всё, нашёл я у себя ошибку, сейчас переделаю.

0

Вот листинг решения вашей задачи в Маткаде.

Миниатюры

 

1

Да, я решил уже, спасибо.Точки получились такие (13, -10, 3) (1, -13, 6) (8, -6, 14) (4, -1, 3)

0