Расчет цепей постоянного тока. Подборка примеров

__1. Решить методом контурных токов (МКТ).
__Дано: E1 = 5 В, E2 = 10 В, J = 3 А
_______-R1 = 10/7 Ом, R3 = 7 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 15 Ом, R6 = 12 Ом

__

__Контур только один (37I22 - 10I33 - 45 = 0), переменных больше.
__В чем проблема:
__- согласно методике МКТ - не следует выбирать контура с источниками тока,
поскольку в них контурные токи известны;
__- нет возможности частично упростить схему серьезно не нарушив топологию исходной схемы;
__- вынос источников ЭДС здесь не работает, поскольку последовательное соединение источника
ЭДС и тока не имеет физического смысла (запомните - это ограничение).
__Как быть?
__Нашел в одной, довольно старой, статье анализ применимости МКТ.
Оказалось, что МКТ имеет ограничения и при недостаточности уров вырождается в метод по законам
Кирхгофа. Это бывает в схемах с "неудачным" включением источников тока.
__Какой выход?
__Следует дописывать уравнения по законам Кирхгофа. Однако после замен
контурных токов через токи ветвей и подстановок получается система уравнений в соответствии
с законами Кирхгофа и смысл в самих контурных токах пропадает (не всегда, уравнения по Кирхгофу
могут дополнить МКТ).
__В приведенной схеме симметричное расположение источника тока не позволяет
записать уравнения для двух верхних контуров.
__Вывод.
__Решение чисто МКТ не возможно. Либо так - решение через МКТ приводит к классическим
уравнениям по законам Кирхгофа.

__В качестве примера привожу решение через МЗК.

1. 15I5 - 12I6 - 10I4 = 0
2. 3 - I4 - I5 = 0; I4 = 3 - I5
3. I5 + I6 - I8 = 0;
4. I8 - I1 - 3 = 0; I8 = I1 + 3
5. I1 + I4 - I6 = 0: I1 = I6 - I4 = I6 - 3 + I5

15I5 - 12I6 - 10(3 - I5) = 0
25I5 - 12I6 = 30

10I1/7 + 12I6 = 15
10(I6 - 3 + I5)/7 + 12I6 = 15
10I6 - 30 + 10I5 + 84I6 = 105
94I6 +10I5 = 135; 10I5 = 135 - 94I6 |*2,5 => 25I5 = 337,5 - 235I6

25I5 - 12I6 = 30
337,5 - 235I6 - 12I6 = 30
247I6 = 307,5; I6 = 1,245

__А что же другие методы?
__Как ни странно - работают.
__Наиболее сложным оказался метод эквивалентных преобразований.
(Вспомните о последовательном соединении источников ЭДС и тока)
Ниже рисунки поясняют последовательность операций.

__

__Контроль.

__

__2. Решить с использованием законов Кирхгофа.
__Дано: Е1 = 1,4 В, R1 = 5 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 3 Ом
__Найти Е2, при условии сохранения направления тока через R3.
__При решении использовать законы Кирхгофа.

__На первый взгляд задача простая.
Но после составления уравнений оказывается, что число переменных больше чем уравнений.
(см. https://www.cyberforum.ru/elec... 25546.html)
Методом подстановки можно подобрать такое значение Е2, что направление I3 будет заданным.
__Но вот Вы подрбрали одно значение, другое...и видно, что их...много.

__Эта задача решается в общем виде, причем полярность включение Е2 может быть и другой!
(В исходном виде на месте Е2 был пропуск)
__Таким образом, вариантов два.

__

__Вариант 1.
I1 = I2 + I3
I1R1 + I2R2 = E1
I3R3 - I2R2 = E2

(I2 + I3)R1 + I2R2 = E1
I2(R1 + R2) + I3R1 = E1
I2 = (E1 - I3R1)/(R1 + R2)
I3R3 - R2(E1 - I3R1)/(R1 + R2) = E2
I3R3(R1 + R2) - R2(E1 - I3R1) = E2(R1 + R2)
I3R3(R1 + R2) - R2E1 + I3R1R2 = E2(R1 + R2)
I3(R1R3 + R2R3 + R1R2) = E2(R1 + R2) + R2E1
I3 = [E2(R1 + R2) + R2E1]/(R1R3 + R2R3 + R1R2), (1)
__Из (1) следует, что I3 всегда будет больше нуля и при такой полярности Е2 направление тока
будет совпадать с указанным на рисунке.
__Ответ: Е2 любое больше нуля.

__Вариант 2.
I1 = I2 + I3
I1R1 + I2R2 = E1
I3R3 - I2R2 = - E2
I3 = [R2E1 - E2(R1 + R2)]/(R1R3 + R2R3 + R1R2), (2)
__Из (2) следует что I3 будет больше нуля когда R2E1 - E2(R1 + R2) > 0.
Или: E2(R1 + R2) < R2E1, E2 < R2E1/(R1 + R2), (3)
__Ответ: Е2 любое, удовлетворяющее (3).

1.1. По первому закону
_J – I1 – I3 = 0_-(1)
_I3 + I5 – I4 = 0 (2)
_I1 – I2 – I5 = 0-(3)
_I2 + I4 – J = 0 производное, как результат сложения (1-3), ненужно
1.2. По второму закону
_-I1R1 + I3R3 – I5R5 = - E (4)
_-I2R2 + I4R4 + I5R5 = 0 _(5)
1.3. Из (1) I1= J - I3, подставим в (4)
_- (J - I3)R1 + I3R3 – I5R5 = - E
_- JR1 + I3R1 + I3R3 – I5R5 = - E
__I3 = (JR1 - E + I5R5)/( R1 + R3), (6)
_Из (2) I4 = I3 + I5, подставим в (5)
_-I2R2 + (I3 + I5)R4 + I5R5 = 0, (7)
_Из (3) I2 = I1- I5 = J - I3 - I5, подставим в (7)
_-(J - I3 - I5)R2 + (I3 + I5)R4 + I5R5 = 0
_-JR2 + I5R2 + I3R2 + I3R4 + I5R4 + I5R5 = 0
-_I3(R2 + R4) + I5(R2 + R4 + R5) = JR2, (8)
_Подставим (6) в (8)
_-(JR1 - E + I5R5)(R2 + R4) / ( R1 + R3) + I5(R2 + R4 + R5) = JR2
_-(JR1 - E + I5R5)(R2 + R4)+ I5(R2 + R4 + R5)( R1 + R3) = JR2( R1 + R3)
_-(JR1 - E)(R2 + R4) + I5R5(R2 + R4)+ I5(R2 + R4 + R5)( R1 + R3) = JR2( R1 + R3)
_-I5[R5(R2 + R4)+(R2 + R4 + R5)( R1 + R3)] = JR2( R1 + R3)- (JR1 - E)(R2 + R4)
_-I5 = JR2( R1 + R3)- (JR1 - E)(R2 + R4)// R5(R2 + R4)+(R2 + R4 + R5)( R1 + R3)
_-I5 = 70/74 = 0,946 (А).

_-I11(R1 + R3 + R5) - I22R5 - JR1 = - E
_- I11R5 + I22(R2 + R4 + R5) - JR2 = 0
_-90I11 - 50I22 = - 50; I22 = (90I11 + 50)/50 = 1,8I11 + 1
_- 50I11 + 110I22 = 100; - 50I11 + 198I11 = - 10
_I11 = - 0,0676 = I3
_I22 = 0,878 = I4
_I5 = - 0,946
_Знаки по отношению к направлению контурных токов.

Классический метод.
_3.1. Преобразовываем звезду R125 в треугольник
_R12 = R1 + R2 + R1R2/R5 = 34 (Ом)
_R13 = R1 + R5 + R1R5/R2 = 85 (Ом)
_R23 = R2 + R5 + R2R5/R1 = 170 (Ом)
_Ej = 170 В, Je = 10/3 (А)

_

3.2. Далее последовательно:
_R23,4 = R23R4/( R23+R4) = 170*40/210 = 32,381 (Ом)
_R13,3 = R3R13/ (R3+R13) = 30*85/115 = 22,174 (Ом)
_Eje = 22,174*10/3 = 73,913 (В)
_I = (Ej – Eje)/( R12 + R234+ R13,3) = 1,085 (А)
3.3. Теперь в обратном порядке:
_U13 = (5-1,085)*34- U23,4 = 97.977 (В)
_I3 = (97.977-100) /30 = -0,067 (А)
_U23,4 = 1,085*32,381 = 35,133 (В)
_I4 = 35,133 /40 = 0,878 (А)
_I5 = I4 – I3 = 0,878 + 0,067 = 0.945 (А)

Операции с источником тока.
_Довольно редко используется дробление/вынесение источника тока (ИТ).
Метод очень эффективен, если ИТ один в ветви. Все ясно из рисунка ниже.
_На последнем рисунке ток I5 легко находится либо методом наложения,
либо еще раз свернуть схему до одного ИТ.

_

_R24 = 60 Ом; R13 = 40 Ом; R34 = 70 Ом; R12 = 30 Ом
_

4.1. Заменим по отношению к ветви с резистором R5 всю остальную схему
_эквивалентным генератором (активным двухполюсником) с ЭДС Exx и внутренним
_сопротивлением Rвн.
__ЭДС Exx определяется по результатам расчета режима холостого хода генератора как
_напряжение между точками «x1» и «x2» схемы при разомкнутой ветви с резистором R5.
4.1.1. После размыкания ветви с R5 cхема легко преобразуется в следующей
_последовательности:
_- источник тока в ЕДС: Ej = 5 х 30 = 150 (В).
_- эквивалентная ЭДС двух, встречно включенных источников, dE = 50 В;
_- эквивалентное сопротивление Rэ = 70 +30 = 100 (Ом).
_Ток I34 = 0,5 А и напряжение на R4 U4 = 20 В.
4.1.2. Учитывая, что I12 = 5 – 0,5 = 4,5 (A), получаем U2 = 90 В.
4.1.3. В итоге Eхх = 90 – 20 = 70 (В).
4.2. Для расчета внутреннего сопротивления генератора в схеме все ЭДС закорачиваются и
определяется сопротивление по отношению к точкам «х1» и «х2»:
_Rвн = R24||R13 = 24 (Ом).
4.3. Ток в ветви с резистором R5
_I5 = Exx / (Rвн + R5) = 70 / 74 = 0,946 (А).

__Привести исходную схему к 2-м узлам можно как в п. 2, см. рис.2, а, б.
__Смысла особого в этом нет, т.к. задача легко решается как в п. 2.
__Если будут просьбы - выложу.

__Измерений больше, чем нужно. Пригодится в промежуточных расчетах.
__Расхождение в расчетных и измеренных значениях объясняется округлением.
__Желательно
__- выводить общее выражение и только потом подставлять исходные данные
__- 3-5 знаков после запятой в промежуточных значениях.

__1.1. Уравнения
__I1 + I3 = I4 (1)
__I2 – I3 - I6 = 0 (2)
__I1 – I2 + I5 = 0 (3)
__I4 + I6 – I5 = 0 (4)
__R1I1 –I3R3 – I2R2 = E1 - E2 (5)
__I2R2 + I5R5 = E2 + E3 (6)
__1.1. Метод подстановки.
__Из (2) I2 = I5 – I1 и в (6)
__(I5 – I1)R2 + I5R5 = E2 + E3
__I1= (I5(R2 + R5) – E2 – E3)/R2, (7)
__Из (1) I2 = I4 – I3 и в (5)
__(I4 – I3)R1 – I3R3 – I2R2 = E1 - E2
__I2 = (E2 – E1 + I4R1 – I3(R1 + R3))/R2 = I5 – I1, (8)
__В (8) подставляем I3 = I4 – I1 и I1 из (7).
__В итоге получаем
__I5 = (I4R2R3 + R2(E1 – E2) + (E2 + E3)(R1 + R2 + R3))/((R2 + R5)(R1 + R2 + R3) - R2^2)
__I5 = 4,05882 (А)
__Подставляем I5 в (7)
__I1 = 0,17647 (А)
__Ну и далее
__I2 = 3,88236 (А)
__I3 = 2,82353 (А)
__I6 = 1,05883 (А)
__1.2. Проверка. Баланс мощностей
__Pr = 0,17647^2*20 + 3,88236^2*5 + 2,82353 ^2*5 + 3^2*20 + 4,05882^2*10 = 460,59 (Вт)
__Pe = 0,17647*10 + 3,88236*40 + 1,05883 *20 + 3*94,1 = 460,54 (Вт)
__1.3. Матричным методом результат тот же, разница в сотых.

_-I11(R1 + R2 + R3) - I22RR2 - JR3 = E1 - E2
_- I11R2 + I22(R2 + R5) = E2 + E3

_-30I11 - 5I22 = - 15 | *3
_-90I11 - 15I22 = - 45
_- 5I11 + 15I22 = 60
_Сложить:
_85I11 = 15: I11 = 0,176

__



_3.1. В исходной схеме есть ветвь с Е3, но без сопротивления.
Лучше от нее избавиться переносом источника. Добвим -Е3 в ветви 12, 23 и 24.
В результате получим схему №1. Узел 2 и 4 - одно и тоже.
_Е23 = Е2 + Е3 = 60
_3.2. Преобразуем Е23 с R2 в источник тока J23 = Е23/R2 = 12.
Параллельно соединенные R2 и R5 дадут R25 = R2R5/(R2 + R5) = 50/15 = 3,333.
Обратное преобразование J23 и R25, E23' = J23*R25 = 40 и получаем схему №2.
_3.3. Упростим ветвь с E1 и E23' - схема №3.
_E123' = E23' - E1 = 30; R125 = R1 + R25 = 23,333
_3.4. Заменяем источники ЭДС на источники тока - схема №4.
J123' = E123'/R125 = 1,286
J3 = E3/R3 = 4
_3.5. На схеме №5 Jэ = 5,286 и Rэ = R125R3/(R125 + R3) = 4,118
Ток через Rэ = -8,286 (в узел 1)
Напряжение Uэ = Rэ*Iэ = - 34,122
Это же напряжение и на R12 и R3 схемы №4.
_3.6. I3 = Uэ/R3 = 6,824
_3.7. Движемся в обратном порядке.
_3.7.1. Действительный ток I3
- I3*R3 + Uэ = - E3, I3 = (-E3 - Uэ)/R3 = -2,824
_3.7.2. Действительный ток I1
I1 = (-E123' - Uэ)/R125 = - 0,177
Используя закон Ома для участка цепи, Кирхгофа Вы найдете все токи.
_7.3. R1I1 - I3R3 - I2R2 = E1 - E2
0,177*20 - 2,824*5 - 5I2 = - 30, I2 = 3,884
_7.4. R2I2 + I5R5 = E1
I5 = (E1 - R2I2)/R5 = 4,058

__



__Будем искать ток I5. По сути надо решить две схемы.
Rвх из схемы №1 и Uxx из схемы №2.
Rвх = 4,167
__Напряжение холостого хода ищется любым известным Вам способом.
__Приведу сразу результаты:
I1 = 0,5; I2 = 0,5; I3 = 3,5; I6 = - 3
Uxx находится из закона Ома для участка цепи.
I2R2 + Uxx = E3 - E2 = 60: Uxx = 57,5
Тогда I5 = Uxx/(Rвх + R5) = 57,5/14,167 = 4,059

__
__Заземляем узел №2 при этом потенциал ф4 = E3 = 20 В.
__Уравнений два:
ф1(g1 + g3) - ф3g1 = E1g1 - J
ф3(g1 + g2 + g5) - ф1g1 - E3g5 = - E1g1 - E2g2

g1 = g4 = 0,05
g2 = g3 = 0,2
g5 = 0,1

0,25ф1 - 0,05ф3 = 0,5 - 3 = - 2,5
0,35ф3 - 0,05ф1 - 2 = - 0,5 - 8 = - 8,5
0,25ф1 - 0,05ф3 = - 2,5
0,35ф3 - 0,05ф1 = -6,5
ф3 = -20.588
ф1 = -14.118

__Контроль.



__Замечание.
__Распространенная ошибка при последовательном соединении источника тока и сопротивления -
учитывать где, это необходимо, проводимость этой ветви. Ее проводимость равна нулю.