Уравнение в частных производных

@veron · Регистрация: 07.06.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

помогите решить задачу Коши:

Добавлено через 1 час 18 минут
xy³ ∂u/∂x+x² z² ∂u/∂y+y³ z ∂u/∂z=0 u=y⁴ при xz³=1
я нашла соотношение:
dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z)
нахожу первые интегралы
dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ □(⇒┴ ) y⁴-2x² z²=C₁
dz/dx=(y³ z)/(xy³ )=z/x □(⇒┴ ) x/z=C₂
и что дальше делать?

240Volt · 09.06.2012, 02:25

Сообщение от veron

нахожу первые интегралы
dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ ...
⁴-2x² z²=C₁..

Нет, мне это не нравится. Вы интегрируете зависимость y(x), считая z константой. Но ведь характеристика

dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z)

это линия, вдоль которой изменяются и x, и y, и z. Поэтому вдоль характеристической кривой нельзя считать z независимой переменной. Сделаем иначе. Сначала проинтегрируем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dz}}{{{y^3}z}} \to \frac{{dx}}{x} = \frac{{dz}}{z} \to \frac{z}{x} = {A_1}$
Теперь преобразуем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dy}}{{{x^2}{z^2}}} = \frac{{dy}}{{A_1^2{x^4}}} \to {y^3}dy - A_1^2{x^3}dx = 0 \to {y^4} - A_1^2{x^4} = {A_2}$
Общий интеграл исходного уравнения - произвольная функция
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2})$
Теперь - задача Коши. На начальной поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\rm{x}}{{\rm{z}}^3}{\rm{ = 1}} \to {\rm{x = }}{{\rm{z}}^{ - 3}} \to {A_1} = {z^4};{\rm{ }}{A_2} = {y^4} - {z^{ - 4}}$
Поэтому начальное условие можно записать так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = {y^4} = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = \varphi ({A_1},{A_2})$
Отсюда находим функцию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \varphi ({A_1},{A_2})= {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}}$
Осталось записать решение задачи Коши:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2}) = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = {y^4} - {x^2}{z^2} + \frac{x}{z}$
Обязательно проверьте: подставьте в дифур и в начальное условие.
Какие ошибки найдёте - все ваши!

@veron · 09.06.2012, 19:16 **[ТС]**

спасибо, с этим примером я разобралась.
а как быть тут:

как выразить y, чтобы затем подставить в следующее равенство. я вообще правильно нахожу первый интеграл?

240Volt · 10.06.2012, 00:03

Сообщение от veron

.. я вообще правильно нахожу первый интеграл?

Нет, у вас та же (привычная ?) ошибка

: вы пишете z=ty и dz=ydt, а надо dz=ydt+tdy. А вообще, интеграл этого уравнения
2yz+y²-z²=C₁.

@veron · 11.06.2012, 00:30 **[ТС]**

но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$
что же делать дальше?

240Volt · 11.06.2012, 00:53

Сообщение от veron

но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$ ..

Нельзя, ну и не надо! Если задача не хочет решаться, ей же хуже!

Сделаем иначе.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l} \frac{{dx}}{{2{x^2}yz}} = \frac{{dy}}{{yz - {y^2}}} = \frac{{dz}}{{yz + {y^2}}} \\ \frac{{dx}}{{2{x^2}z}} = \frac{{dy}}{{z - y}} = \frac{{dz}}{{z + y}} = \frac{{dy + dz}}{{(z - y) + (z + y)}} = \frac{{d(y + z)}}{{2z}} \\ \frac{{dx}}{{{x^2}}} = d(y + z) \\ y + z + \frac{1}{x} = {C_2} \\ \end{array}$

@veron · 11.06.2012, 01:17 **[ТС]**

Тогда общий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\phi (C1;C2)$
подставляем начальные условия:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C1={y-z}^{2}=u$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C2=1$
и как записать окончательное решение?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9

	Уравнение в частных производных 07.06.2012, 13:48. Показов 2271. Ответов 6 Метки нет (Все метки) помогите решить задачу Коши: Добавлено через 1 час 18 минут xy³ ∂u/∂x+x² z² ∂u/∂y+y³ z ∂u/∂z=0 u=y⁴ при xz³=1 я нашла соотношение: dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z) нахожу первые интегралы dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ □(⇒┴ ) y⁴-2x² z²=C₁ dz/dx=(y³ z)/(xy³ )=z/x □(⇒┴ ) x/z=C₂ и что дальше делать? 0

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	09.06.2012, 19:16 [ТС]
	спасибо, с этим примером я разобралась. а как быть тут: как выразить y, чтобы затем подставить в следующее равенство. я вообще правильно нахожу первый интеграл? 0

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	11.06.2012, 00:30 [ТС]
	но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$ что же делать дальше? 0

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	11.06.2012, 01:17 [ТС]
	Тогда общий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\phi (C1;C2)$ подставляем начальные условия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C1={y-z}^{2}=u$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C2=1$ и как записать окончательное решение? 0