Уравнение в частных производных

@veron · Регистрация: 07.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

помогите решить задачу Коши:

Добавлено через 1 час 18 минут
xy³ ∂u/∂x+x² z² ∂u/∂y+y³ z ∂u/∂z=0 u=y⁴ при xz³=1
я нашла соотношение:
dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z)
нахожу первые интегралы
dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ □(⇒┴ ) y⁴-2x² z²=C₁
dz/dx=(y³ z)/(xy³ )=z/x □(⇒┴ ) x/z=C₂
и что дальше делать?

240Volt · 09.06.2012, 02:25

Сообщение от veron

нахожу первые интегралы
dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ ...
⁴-2x² z²=C₁..

Нет, мне это не нравится. Вы интегрируете зависимость y(x), считая z константой. Но ведь характеристика

dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z)

это линия, вдоль которой изменяются и x, и y, и z. Поэтому вдоль характеристической кривой нельзя считать z независимой переменной. Сделаем иначе. Сначала проинтегрируем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dz}}{{{y^3}z}} \to \frac{{dx}}{x} = \frac{{dz}}{z} \to \frac{z}{x} = {A_1}$
Теперь преобразуем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dy}}{{{x^2}{z^2}}} = \frac{{dy}}{{A_1^2{x^4}}} \to {y^3}dy - A_1^2{x^3}dx = 0 \to {y^4} - A_1^2{x^4} = {A_2}$
Общий интеграл исходного уравнения - произвольная функция
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2})$
Теперь - задача Коши. На начальной поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\rm{x}}{{\rm{z}}^3}{\rm{ = 1}} \to {\rm{x = }}{{\rm{z}}^{ - 3}} \to {A_1} = {z^4};{\rm{ }}{A_2} = {y^4} - {z^{ - 4}}$
Поэтому начальное условие можно записать так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = {y^4} = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = \varphi ({A_1},{A_2})$
Отсюда находим функцию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \varphi ({A_1},{A_2})= {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}}$
Осталось записать решение задачи Коши:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2}) = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = {y^4} - {x^2}{z^2} + \frac{x}{z}$
Обязательно проверьте: подставьте в дифур и в начальное условие.
Какие ошибки найдёте - все ваши!

@veron · 09.06.2012, 19:16 **[ТС]**

спасибо, с этим примером я разобралась.
а как быть тут:

как выразить y, чтобы затем подставить в следующее равенство. я вообще правильно нахожу первый интеграл?

240Volt · 10.06.2012, 00:03

Сообщение от veron

.. я вообще правильно нахожу первый интеграл?

Нет, у вас та же (привычная ?) ошибка

: вы пишете z=ty и dz=ydt, а надо dz=ydt+tdy. А вообще, интеграл этого уравнения
2yz+y²-z²=C₁.

@veron · 11.06.2012, 00:30 **[ТС]**

но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$
что же делать дальше?

240Volt · 11.06.2012, 00:53

Сообщение от veron

но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$ ..

Нельзя, ну и не надо! Если задача не хочет решаться, ей же хуже!

Сделаем иначе.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l} \frac{{dx}}{{2{x^2}yz}} = \frac{{dy}}{{yz - {y^2}}} = \frac{{dz}}{{yz + {y^2}}} \\ \frac{{dx}}{{2{x^2}z}} = \frac{{dy}}{{z - y}} = \frac{{dz}}{{z + y}} = \frac{{dy + dz}}{{(z - y) + (z + y)}} = \frac{{d(y + z)}}{{2z}} \\ \frac{{dx}}{{{x^2}}} = d(y + z) \\ y + z + \frac{1}{x} = {C_2} \\ \end{array}$

@veron · 11.06.2012, 01:17 **[ТС]**

Тогда общий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\phi (C1;C2)$
подставляем начальные условия:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C1={y-z}^{2}=u$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C2=1$
и как записать окончательное решение?

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
		1
	Уравнение в частных производных 07.06.2012, 13:48. Показов 2018. Ответов 6 Метки нет (Все метки) помогите решить задачу Коши: Добавлено через 1 час 18 минут xy³ ∂u/∂x+x² z² ∂u/∂y+y³ z ∂u/∂z=0 u=y⁴ при xz³=1 я нашла соотношение: dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z) нахожу первые интегралы dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ □(⇒┴ ) y⁴-2x² z²=C₁ dz/dx=(y³ z)/(xy³ )=z/x □(⇒┴ ) x/z=C₂ и что дальше делать? 0

240Volt 4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	09.06.2012, 02:25	2
	Сообщение от veron нахожу первые интегралы dy/dx=(x² z²)/(xy³ )=(xz²)/y³ ... ⁴-2x² z²=C₁.. Нет, мне это не нравится. Вы интегрируете зависимость y(x), считая z константой. Но ведь характеристика dx/(xy³ )=dy/(x² z² )=dz/(y³ z) это линия, вдоль которой изменяются и x, и y, и z. Поэтому вдоль характеристической кривой нельзя считать z независимой переменной. Сделаем иначе. Сначала проинтегрируем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dz}}{{{y^3}z}} \to \frac{{dx}}{x} = \frac{{dz}}{z} \to \frac{z}{x} = {A_1}$ Теперь преобразуем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dy}}{{{x^2}{z^2}}} = \frac{{dy}}{{A_1^2{x^4}}} \to {y^3}dy - A_1^2{x^3}dx = 0 \to {y^4} - A_1^2{x^4} = {A_2}$ Общий интеграл исходного уравнения - произвольная функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2})$ Теперь - задача Коши. На начальной поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\rm{x}}{{\rm{z}}^3}{\rm{ = 1}} \to {\rm{x = }}{{\rm{z}}^{ - 3}} \to {A_1} = {z^4};{\rm{ }}{A_2} = {y^4} - {z^{ - 4}}$ Поэтому начальное условие можно записать так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = {y^4} = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = \varphi ({A_1},{A_2})$ Отсюда находим функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \varphi ({A_1},{A_2})= {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}}$ Осталось записать решение задачи Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2}) = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = {y^4} - {x^2}{z^2} + \frac{x}{z}$ Обязательно проверьте: подставьте в дифур и в начальное условие. Какие ошибки найдёте - все ваши! 2

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	09.06.2012, 19:16 [ТС]	3
	спасибо, с этим примером я разобралась. а как быть тут: как выразить y, чтобы затем подставить в следующее равенство. я вообще правильно нахожу первый интеграл? 0

240Volt 4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	10.06.2012, 00:03	4
	Сообщение от veron .. я вообще правильно нахожу первый интеграл? Нет, у вас та же (привычная ?) ошибка : вы пишете z=ty и dz=ydt, а надо dz=ydt+tdy. А вообще, интеграл этого уравнения 2yz+y²-z²=C₁. 1

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	11.06.2012, 00:30 [ТС]	5
	но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$ что же делать дальше? 0

240Volt 4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	11.06.2012, 00:53	6
	Сообщение от veron но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}$ .. Нельзя, ну и не надо! Если задача не хочет решаться, ей же хуже! Сделаем иначе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l}<br /> \frac{{dx}}{{2{x^2}yz}} = \frac{{dy}}{{yz - {y^2}}} = \frac{{dz}}{{yz + {y^2}}} \\ <br /> \frac{{dx}}{{2{x^2}z}} = \frac{{dy}}{{z - y}} = \frac{{dz}}{{z + y}} = \frac{{dy + dz}}{{(z - y) + (z + y)}} = \frac{{d(y + z)}}{{2z}} \\ <br /> \frac{{dx}}{{{x^2}}} = d(y + z) \\ <br /> y + z + \frac{1}{x} = {C_2} \\ <br /> \end{array}$ 1

@veron 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 9
	11.06.2012, 01:17 [ТС]	7
	Тогда общий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\phi (C1;C2)$ подставляем начальные условия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C1={y-z}^{2}=u$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C2=1$ и как записать окончательное решение? 0