Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Дифференциальные уравнения
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
Блоги Сообщество Поиск Заказать работу  
 
Рейтинг 4.64/11: Рейтинг темы: голосов - 11, средняя оценка - 4.64
0 / 0 / 0
Регистрация: 07.06.2012
Сообщений: 9

Уравнение в частных производных

07.06.2012, 13:48. Показов 2051. Ответов 6
Метки нет (Все метки)

Author24 — интернет-сервис помощи студентам
помогите решить задачу Коши:
Уравнение в частных производных


Добавлено через 1 час 18 минут
xy3 ∂u/∂x+x2 z2 ∂u/∂y+y3 z ∂u/∂z=0 u=y4 при xz3=1
я нашла соотношение:
dx/(xy3 )=dy/(x2 z2 )=dz/(y3 z)
нахожу первые интегралы
dy/dx=(x2 z2)/(xy3 )=(xz2)/y3 □(⇒┴ ) y4-2x2 z2=C1
dz/dx=(y3 z)/(xy3 )=z/x □(⇒┴ ) x/z=C2
и что дальше делать?
0
Programming
Эксперт
39485 / 9562 / 3019
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 41,671
Блог
07.06.2012, 13:48
Ответы с готовыми решениями:

Уравнение в частных производных
(y+(2x^2))dz/dx-((x^3)z)dz/dy=x^3. Вот собственно сам пример. Нашел только С1,дальше не знаю как делать,подскажите

Уравнение в частных производных
Необходимо найти поверхность, удовлетворяющую уравнение и проходящую через ... Уравнение решаю, а дальше не могу. помогите

Дифференциальное уравнение в частных производных
Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, как решать уравнение в частных производных. Еще нужно проверить, является ли замена невырожденной. Как...

6
4445 / 2449 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,108
09.06.2012, 02:25
Цитата Сообщение от veron Посмотреть сообщение
нахожу первые интегралы
dy/dx=(x2 z2)/(xy3 )=(xz2)/y3 ...
4-2x2 z2=C1..
Нет, мне это не нравится. Вы интегрируете зависимость y(x), считая z константой. Но ведь характеристика
dx/(xy3 )=dy/(x2 z2 )=dz/(y3 z)
это линия, вдоль которой изменяются и x, и y, и z. Поэтому вдоль характеристической кривой нельзя считать z независимой переменной. Сделаем иначе. Сначала проинтегрируем
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dz}}{{{y^3}z}} \to \frac{{dx}}{x} = \frac{{dz}}{z} \to \frac{z}{x} = {A_1}
Теперь преобразуем
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dx}}{{x{y^3}}} = \frac{{dy}}{{{x^2}{z^2}}} = \frac{{dy}}{{A_1^2{x^4}}} \to {y^3}dy - A_1^2{x^3}dx = 0 \to {y^4} - A_1^2{x^4} = {A_2}
Общий интеграл исходного уравнения - произвольная функция
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2})
Теперь - задача Коши. На начальной поверхности
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\rm{x}}{{\rm{z}}^3}{\rm{  = 1}} \to {\rm{x = }}{{\rm{z}}^{ - 3}} \to {A_1} = {z^4};{\rm{   }}{A_2} = {y^4} - {z^{ - 4}}
Поэтому начальное условие можно записать так:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = {y^4} = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = \varphi ({A_1},{A_2})
Отсюда находим функцию
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \varphi ({A_1},{A_2})= {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}}
Осталось записать решение задачи Коши:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u = \varphi ({A_1},{A_2}) = {A_2} + \frac{1}{{{A_1}}} = {y^4} - {x^2}{z^2} + \frac{x}{z}
Обязательно проверьте: подставьте в дифур и в начальное условие.
Какие ошибки найдёте - все ваши!
2
0 / 0 / 0
Регистрация: 07.06.2012
Сообщений: 9
09.06.2012, 19:16  [ТС]
спасибо, с этим примером я разобралась.
а как быть тут:
Уравнение в частных производных

как выразить y, чтобы затем подставить в следующее равенство. я вообще правильно нахожу первый интеграл?
0
4445 / 2449 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,108
10.06.2012, 00:03
Цитата Сообщение от veron Посмотреть сообщение
.. я вообще правильно нахожу первый интеграл?
Нет, у вас та же (привычная ?) ошибка : вы пишете z=ty и dz=ydt, а надо dz=ydt+tdy. А вообще, интеграл этого уравнения
2yz+y2-z2=C1.
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 07.06.2012
Сообщений: 9
11.06.2012, 00:30  [ТС]
но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}
что же делать дальше?
0
4445 / 2449 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,108
11.06.2012, 00:53
Цитата Сообщение от veron Посмотреть сообщение
но из этого интеграла нельзя выразить y, чтобы подставить в https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{2x^2z}=\frac{dz}{z+y}..
Нельзя, ну и не надо! Если задача не хочет решаться, ей же хуже! Сделаем иначе.
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l}<br />
 \frac{{dx}}{{2{x^2}yz}} = \frac{{dy}}{{yz - {y^2}}} = \frac{{dz}}{{yz + {y^2}}} \\ <br />
 \frac{{dx}}{{2{x^2}z}} = \frac{{dy}}{{z - y}} = \frac{{dz}}{{z + y}} = \frac{{dy + dz}}{{(z - y) + (z + y)}} = \frac{{d(y + z)}}{{2z}} \\ <br />
 \frac{{dx}}{{{x^2}}} = d(y + z) \\ <br />
 y + z + \frac{1}{x} = {C_2} \\ <br />
 \end{array}
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 07.06.2012
Сообщений: 9
11.06.2012, 01:17  [ТС]
Тогда общий интеграл: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\phi (C1;C2)
подставляем начальные условия:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C1={y-z}^{2}=u
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C2=1
и как записать окончательное решение?
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
inter-admin
Эксперт
29715 / 6470 / 2152
Регистрация: 06.03.2009
Сообщений: 28,500
Блог
11.06.2012, 01:17
Помогаю со студенческими работами здесь

Нелинейное уравнение в частных производных первого порядка
Подскажите, сам в теме не шарю.. Какого вида это уравнение, знаю только что оно нелинейное в чп и как его нужно решать не приближенными...

Привести к каноническому виду уравнение в частных производных
Здравствуйте, Как привести уравнение к каноническому виду \frac{ d^{2} u }{ dx^{2} } + 2 \frac{ d^{2}u }{ dxdy } - 3 \frac{ d^{2} u...

Дифференциальное уравнение в частных производных. Задача Коши
Имеется задача Коши вида: U{}_{x}-yU{}_{y}=0 U(0,y)=cos(y) Я нахожу характеристики: \varphi {}_{x}-y\varphi {}_{y}=0 ...

Решить уравнение в частных производных первого порядка
Решить уравнение z'x-z'y=-2z/(ez-zez-x+y) перейдя к новой функции ω(u,v), если ωz=ez-x+y, u=x/y, v=-x-y Не могу понять принцип решения...

Решить дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.
В моей задаче, где нужно найти явные решения задачи Коши, выявилась такая подзадача, которая приведет меня к ответу, а так все...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
7
Ответ Создать тему
Новые блоги и статьи
std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности
NullReferenced 05.04.2025
Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .
Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных
Codd 05.04.2025
Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .
Асинхронные операции в Django с Celery
py-thonny 05.04.2025
Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .
Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go
golander 05.04.2025
Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .
Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY
run.dev 05.04.2025
Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .
Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах
ArchitectMsa 05.04.2025
Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .
Работа с объемным DOM в javascript
Htext 04.04.2025
Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .
Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации
run.dev 04.04.2025
Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .
Управление зависимостями в Python с Poetry
py-thonny 04.04.2025
Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .
Мониторинг с Prometheus в PHP
Jason-Webb 04.04.2025
Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2025, CyberForum.ru
Выделить код Копировать код Сохранить код Нормальный размер Увеличенный размер