Найти особые точки системы ДУ

@ulyana_md · Регистрация: 03.10.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти все особые точки(положения равновесия) системы ДУ. Исследовать их на устойчивость и определить типы особых точек. Начертить на фазовой плоскости траектории системы

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{equation*} \begin{cases} $\dot{x}=exp y-exp x\\ $\dot{y}=ln(5-x^2) \end{cases} \end{equation*} $

@allmass · 28.05.2019, 14:47

Сначала надо приравнять правые части к нулю и решить получившуюся систему уравнений.

@ulyana_md · 28.05.2019, 22:56 **[ТС]**

Получилось, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\pm2, y=\pm2$

@allmass · 29.05.2019, 00:09

Дальше надо найти частные производные от правых частей и подставить в них координаты каждой точки. Для каждой точки получится матрица линейной системы, находите собственные числа и типы особых точек.

@ulyana_md · 30.05.2019, 19:53 **[ТС]**

Значит, получились две точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2;2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-2;-2)$ .
Частные производные в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2;2)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\partial f1}{\partial x}=-exp 2 \frac{\partial f1}{\partial y}= exp 2 \frac{\partial f2}{\partial x}=\frac{-2x}{5-x^2} \frac{\partial f2}{\partial y}=0$
Получаем матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = \begin{pmatrix} -exp 2 & exp 2\\ -4& 0 \end{pmatrix}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?det A\neq 0, \lambda1,2 = \frac{-exp 2}{2}\pm\frac{sqrt(16-exp 2) i exp}{2}$
Корни комплексные, значит особая точка - фокус
Все верно?

@allmass · 30.05.2019, 20:14

Да.

@ulyana_md · 30.05.2019, 22:48 **[ТС]**

Для точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-2;-2)$ получилась матрица
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A = \begin{pmatrix} -exp (-2) & exp (-2)\\ 4& 0 \end{pmatrix}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?det A\neq 0, \lambda1 = \frac{-1+sqrt(1+16 exp 2)}{2 exp 2} , \lambda2 = \frac{-1-sqrt(1+16 exp 2)}{2 exp 2}$
Корни вещественные, разного знака, значит особая точка - седло.
Не можете подсказать, пожалуйста, как построить траектории на фазовой плоскости?

@allmass · 31.05.2019, 14:36

Погуглите как выглядят траектории для седла и фокуса.) Для седла надо будет еще найти собственные векторы, вдоль них будут направлены сеператрисы седла.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@ulyana_md 10 / 6 / 4 Регистрация: 03.10.2017 Сообщений: 110

	Найти особые точки системы ДУ 28.05.2019, 11:11. Показов 14506. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Найти все особые точки(положения равновесия) системы ДУ. Исследовать их на устойчивость и определить типы особых точек. Начертить на фазовой плоскости траектории системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{equation}<br /> \begin{cases}<br /> $\dot{x}=exp y-exp x\\<br /> $\dot{y}=ln(5-x^2)<br /> \end{cases}<br /> \end{equation}<br />$ 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	28.05.2019, 14:47
	Сначала надо приравнять правые части к нулю и решить получившуюся систему уравнений. 1

@ulyana_md 10 / 6 / 4 Регистрация: 03.10.2017 Сообщений: 110
	28.05.2019, 22:56 [ТС]
	Получилось, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\pm2, y=\pm2$ 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	29.05.2019, 00:09
	Сообщение было отмечено ulyana_md как решение Решение Дальше надо найти частные производные от правых частей и подставить в них координаты каждой точки. Для каждой точки получится матрица линейной системы, находите собственные числа и типы особых точек. 1

@ulyana_md 10 / 6 / 4 Регистрация: 03.10.2017 Сообщений: 110
	30.05.2019, 19:53 [ТС]
	Значит, получились две точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2;2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-2;-2)$ . Частные производные в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2;2)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{\partial f1}{\partial x}=-exp 2<br /> \frac{\partial f1}{\partial y}= exp 2<br /> \frac{\partial f2}{\partial x}=\frac{-2x}{5-x^2}<br /> \frac{\partial f2}{\partial y}=0$ Получаем матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = \begin{pmatrix}<br /> -exp 2 & exp 2\\<br /> -4& 0<br /> \end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?det A\neq 0, \lambda1,2 = \frac{-exp 2}{2}\pm\frac{sqrt(16-exp 2) i exp}{2}$ Корни комплексные, значит особая точка - фокус Все верно? 1

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	30.05.2019, 20:14
	Да. 0

@ulyana_md 10 / 6 / 4 Регистрация: 03.10.2017 Сообщений: 110
	30.05.2019, 22:48 [ТС]
	Для точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-2;-2)$ получилась матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A = \begin{pmatrix}<br /> -exp (-2) & exp (-2)\\<br /> 4& 0<br /> \end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?det A\neq 0, \lambda1 = \frac{-1+sqrt(1+16 exp 2)}{2 exp 2} , \lambda2 = \frac{-1-sqrt(1+16 exp 2)}{2 exp 2}$ Корни вещественные, разного знака, значит особая точка - седло. Не можете подсказать, пожалуйста, как построить траектории на фазовой плоскости? 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	31.05.2019, 14:36
	Погуглите как выглядят траектории для седла и фокуса.) Для седла надо будет еще найти собственные векторы, вдоль них будут направлены сеператрисы седла. 0

Найти особые точки системы ДУ

Решение