Очень сложный дифур

@Andrufka · Регистрация: 18.02.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0

Я ввожу параметр p=y'

y^2p^2+2xyp-y^2+1=0

Ну а что делать дальше, ума не приложу...

@Andrufka · 16.11.2010, 01:55 **[ТС]**

Need Help!!!!!!!!!!!!!!!!

@Black Fregat · 16.11.2010, 03:11

Неужели так сложно воспользоваться редактором формул (внизу страницы), чтобы привести формулы в читаемый вид?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}{y'}^{2}+2xyy'-{y}^{2}+1=0$

@Black Fregat · 16.11.2010, 04:13

Замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=p$ должна привести к квадратному уравнению относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ . Его решают по стандартным формулам - получается 2 новых дифура. Но навскидку мне не удалось ничего выжать из этих уравнений...

@JohnyWalker · 16.11.2010, 09:07

Andrufka, решить твой дифур удалось. Правда не очень представляю, как тут вывести решение (оно заняло у меня страницу текста от руки), редактора формул не нашел - где он здесь?

А если совсем коротко, мне задачу решить удалось с помощью двух подстановок.

1. Замечаем, что 2yy' = d/dx (y^2),
откуда угадывается замена z = y^2 / 2 .

Исходное уравнение приводится к виду
z'^2 + 2xz' - 2z + 1 = 0

2. Выделяя полный квадрат относительно z'^2 + 2xz' , записываем это уранение как
(z' + x)^2 - x^2 - 2z + 1 = 0

Делаем постановку
w' = z' + x,
откуда w = z + x^2 / 2 и x^2 + 2z = 2w .

Уравнение приводится к виду
w'^2 - 2w + 1 = 0 ,
откуда
w' = +-sqrt(2w - 1)

Опускаю элементарные вычисления по взятию простенького интеграла и простейшие алгебраические преобразования (думаю, сам их проделаешь), в результате которых для w получаем следующее решение

w = c^2 / 2 + 1/2 +- cx + x^2 / 2
c - произвольная константа

Выражая z через w (по формуле z = w - x^2 / 2), имеем
z = c^2 / 2 + 1/2 +- cx

Т. к. y = +-sqrt(2z), окончательно получаем
y = +-sqrt (c^2 + 1 +- 2cx)

Т. е. фактически наше решение распадается на четыре решения (из-за знака +- в формулах), c - произвольная константа.

PS
Думаю, что обозначение +- понятно.

@Andrufka · 16.11.2010, 09:40 **[ТС]**

Спасибо огромное!!!
Попробую разобраться!!!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
BASH scripting - the best cases [PurpleSchool] jigi33 08.04.2025 Занятия BASH в PurpleSchool - отличные примеры для внедрения в практику (see screenshots and file names)	Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г.) Programma_Boinc 07.04.2025 Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г. ) В рамках наших текущих исследований мы продолжаем изучать гены, которые имеют наибольшую вероятность развития рака легких, выявленные в рамках. . .	Рекурсивные типы в Python py-thonny 07.04.2025 Рекурсивные типы - это типы данных, которые определяются через самих себя или в сочетании с другими типами, которые в свою очередь ссылаются на исходный тип. В мире программирования такие структуры. . .	C++26: Объединение и конкатенация последовательностей и диапазонов в std::ranges NullReferenced 07.04.2025 Работа с последовательностями данных – одна из фундаментальных задач, с которой сталкивается каждый разработчик. C++ прошел длинный путь в эволюции средств для манипуляции коллекциями – от. . .	Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .
PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .	Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .	Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19

	Очень сложный дифур 13.11.2010, 16:35. Показов 5087. Ответов 5 Метки нет (Все метки) y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0 Я ввожу параметр p=y' y^2p^2+2xyp-y^2+1=0 Ну а что делать дальше, ума не приложу... 0

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19
	16.11.2010, 01:55 [ТС]
	Need Help!!!!!!!!!!!!!!!! 0

@Black Fregat Фрилансер 3709 / 2082 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	16.11.2010, 03:11
	Неужели так сложно воспользоваться редактором формул (внизу страницы), чтобы привести формулы в читаемый вид? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}{y'}^{2}+2xyy'-{y}^{2}+1=0$ 0

@Black Fregat Фрилансер 3709 / 2082 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	16.11.2010, 04:13
	Замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=p$ должна привести к квадратному уравнению относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ . Его решают по стандартным формулам - получается 2 новых дифура. Но навскидку мне не удалось ничего выжать из этих уравнений... 0

@JohnyWalker 200 / 87 / 9 Регистрация: 15.11.2010 Сообщений: 472
	16.11.2010, 09:07
	Andrufka, решить твой дифур удалось. Правда не очень представляю, как тут вывести решение (оно заняло у меня страницу текста от руки), редактора формул не нашел - где он здесь? А если совсем коротко, мне задачу решить удалось с помощью двух подстановок. 1. Замечаем, что 2yy' = d/dx (y^2), откуда угадывается замена z = y^2 / 2 . Исходное уравнение приводится к виду z'^2 + 2xz' - 2z + 1 = 0 2. Выделяя полный квадрат относительно z'^2 + 2xz' , записываем это уранение как (z' + x)^2 - x^2 - 2z + 1 = 0 Делаем постановку w' = z' + x, откуда w = z + x^2 / 2 и x^2 + 2z = 2w . Уравнение приводится к виду w'^2 - 2w + 1 = 0 , откуда w' = +-sqrt(2w - 1) Опускаю элементарные вычисления по взятию простенького интеграла и простейшие алгебраические преобразования (думаю, сам их проделаешь), в результате которых для w получаем следующее решение w = c^2 / 2 + 1/2 +- cx + x^2 / 2 c - произвольная константа Выражая z через w (по формуле z = w - x^2 / 2), имеем z = c^2 / 2 + 1/2 +- cx Т. к. y = +-sqrt(2z), окончательно получаем y = +-sqrt (c^2 + 1 +- 2cx) Т. е. фактически наше решение распадается на четыре решения (из-за знака +- в формулах), c - произвольная константа. PS Думаю, что обозначение +- понятно. 0

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19
	16.11.2010, 09:40 [ТС]
	Спасибо огромное!!! Попробую разобраться!!! 0