Очень сложный дифур

@Andrufka · Регистрация: 18.02.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0

Я ввожу параметр p=y'

y^2p^2+2xyp-y^2+1=0

Ну а что делать дальше, ума не приложу...

@Andrufka · 16.11.2010, 01:55 **[ТС]**

Need Help!!!!!!!!!!!!!!!!

@Black Fregat · 16.11.2010, 03:11

Неужели так сложно воспользоваться редактором формул (внизу страницы), чтобы привести формулы в читаемый вид?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}{y'}^{2}+2xyy'-{y}^{2}+1=0$

@Black Fregat · 16.11.2010, 04:13

Замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=p$ должна привести к квадратному уравнению относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ . Его решают по стандартным формулам - получается 2 новых дифура. Но навскидку мне не удалось ничего выжать из этих уравнений...

@JohnyWalker · 16.11.2010, 09:07

Andrufka, решить твой дифур удалось. Правда не очень представляю, как тут вывести решение (оно заняло у меня страницу текста от руки), редактора формул не нашел - где он здесь?

А если совсем коротко, мне задачу решить удалось с помощью двух подстановок.

1. Замечаем, что 2yy' = d/dx (y^2),
откуда угадывается замена z = y^2 / 2 .

Исходное уравнение приводится к виду
z'^2 + 2xz' - 2z + 1 = 0

2. Выделяя полный квадрат относительно z'^2 + 2xz' , записываем это уранение как
(z' + x)^2 - x^2 - 2z + 1 = 0

Делаем постановку
w' = z' + x,
откуда w = z + x^2 / 2 и x^2 + 2z = 2w .

Уравнение приводится к виду
w'^2 - 2w + 1 = 0 ,
откуда
w' = +-sqrt(2w - 1)

Опускаю элементарные вычисления по взятию простенького интеграла и простейшие алгебраические преобразования (думаю, сам их проделаешь), в результате которых для w получаем следующее решение

w = c^2 / 2 + 1/2 +- cx + x^2 / 2
c - произвольная константа

Выражая z через w (по формуле z = w - x^2 / 2), имеем
z = c^2 / 2 + 1/2 +- cx

Т. к. y = +-sqrt(2z), окончательно получаем
y = +-sqrt (c^2 + 1 +- 2cx)

Т. е. фактически наше решение распадается на четыре решения (из-за знака +- в формулах), c - произвольная константа.

PS
Думаю, что обозначение +- понятно.

@Andrufka · 16.11.2010, 09:40 **[ТС]**

Спасибо огромное!!!
Попробую разобраться!!!

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19
		1
	Очень сложный дифур 13.11.2010, 16:35. Показов 4958. Ответов 5 Метки нет (Все метки) y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0 Я ввожу параметр p=y' y^2p^2+2xyp-y^2+1=0 Ну а что делать дальше, ума не приложу... 0

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19
	16.11.2010, 01:55 [ТС]	2
	Need Help!!!!!!!!!!!!!!!! 0

@Black Fregat Фрилансер 3709 / 2082 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	16.11.2010, 03:11	3
	Неужели так сложно воспользоваться редактором формул (внизу страницы), чтобы привести формулы в читаемый вид? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}{y'}^{2}+2xyy'-{y}^{2}+1=0$ 0

@Black Fregat Фрилансер 3709 / 2082 / 567 Регистрация: 31.05.2009 Сообщений: 6,683
	16.11.2010, 04:13	4
	Замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=p$ должна привести к квадратному уравнению относительно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ . Его решают по стандартным формулам - получается 2 новых дифура. Но навскидку мне не удалось ничего выжать из этих уравнений... 0

@JohnyWalker 200 / 87 / 9 Регистрация: 15.11.2010 Сообщений: 472
	16.11.2010, 09:07	5
	Andrufka, решить твой дифур удалось. Правда не очень представляю, как тут вывести решение (оно заняло у меня страницу текста от руки), редактора формул не нашел - где он здесь? А если совсем коротко, мне задачу решить удалось с помощью двух подстановок. 1. Замечаем, что 2yy' = d/dx (y^2), откуда угадывается замена z = y^2 / 2 . Исходное уравнение приводится к виду z'^2 + 2xz' - 2z + 1 = 0 2. Выделяя полный квадрат относительно z'^2 + 2xz' , записываем это уранение как (z' + x)^2 - x^2 - 2z + 1 = 0 Делаем постановку w' = z' + x, откуда w = z + x^2 / 2 и x^2 + 2z = 2w . Уравнение приводится к виду w'^2 - 2w + 1 = 0 , откуда w' = +-sqrt(2w - 1) Опускаю элементарные вычисления по взятию простенького интеграла и простейшие алгебраические преобразования (думаю, сам их проделаешь), в результате которых для w получаем следующее решение w = c^2 / 2 + 1/2 +- cx + x^2 / 2 c - произвольная константа Выражая z через w (по формуле z = w - x^2 / 2), имеем z = c^2 / 2 + 1/2 +- cx Т. к. y = +-sqrt(2z), окончательно получаем y = +-sqrt (c^2 + 1 +- 2cx) Т. е. фактически наше решение распадается на четыре решения (из-за знака +- в формулах), c - произвольная константа. PS Думаю, что обозначение +- понятно. 0

@Andrufka 0 / 0 / 0 Регистрация: 18.02.2010 Сообщений: 19
	16.11.2010, 09:40 [ТС]	6
	Спасибо огромное!!! Попробую разобраться!!! 0