В чем состоит разница между однородными и неоднородными диф. уравнениями. Виды уравнений.

@lion_wine · Регистрация: 08.03.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, математики.
Помогите, пожалуйста, устранить кашу в голове и понять в чем разница между однородными уравнения и неоднородными диф.уравнениями. Какие бывают виды и тех и других. Например, я не могу понять, чем ОДУ 2ого порядка с переменными коэффициентами отличается от неоднородного уравнения 2ого порядка, например. Опыта в решении пока маловато, к сожалению, но стараюсь.

@Ellipsoid · 13.12.2015, 15:57

Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots +a_1 y' +a_0y=f(x)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_i=\textrm{const}, \ i=0,1, \cdots , n$ .
Линейное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g_n(x) y^{(n)}+ g_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x) y' +g_0(x)y=f(x)$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) \equiv 0$ , то уравнение называется однородным. В противном случае - неоднородным.
Так, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2y'+y=0$ - линейное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''+ 2y' +y=2x^2$ - линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x y''+ 4x^2 y' +2y=0$ - линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'+x^2y'=x^3$ - линейное неоднородное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами.

Байт · 13.12.2015, 21:33

Сообщение от lion_wine

но стараюсь.

Похвально!
Однородное линейное - это когда все игреки и их производные в линеечку стоят. Могут быть и умноженными на функции от x. Типа того, что вам указал уважаемый Ellipsoid. Неоднородные - слева линейное, а справа f(x). Разделение чисто условное. Просто математикам так удобнее. И решение по разному получается. Обычно сначала решают однородное, потом находят какое-нибудь частное решение неоднородного, потом их соединяют и кричат "Ура!"

Добавлено через 1 минуту
ЗЫ. В "линеечку" - это значит без квадратов, кубов и прочей шушеры.

@lion_wine 8 / 8 / 2 Регистрация: 08.03.2014 Сообщений: 101
		1
	В чем состоит разница между однородными и неоднородными диф. уравнениями. Виды уравнений. 13.12.2015, 15:44. Показов 30588. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, математики. Помогите, пожалуйста, устранить кашу в голове и понять в чем разница между однородными уравнения и неоднородными диф.уравнениями. Какие бывают виды и тех и других. Например, я не могу понять, чем ОДУ 2ого порядка с переменными коэффициентами отличается от неоднородного уравнения 2ого порядка, например. Опыта в решении пока маловато, к сожалению, но стараюсь. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	13.12.2015, 15:57	2
	Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots +a_1 y' +a_0y=f(x)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_i=\textrm{const}, \ i=0,1, \cdots , n$ . Линейное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g_n(x) y^{(n)}+ g_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x) y' +g_0(x)y=f(x)$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) \equiv 0$ , то уравнение называется однородным. В противном случае - неоднородным. Так, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2y'+y=0$ - линейное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''+ 2y' +y=2x^2$ - линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x y''+ 4x^2 y' +2y=0$ - линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'+x^2y'=x^3$ - линейное неоднородное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. 0

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	13.12.2015, 21:33	3
	Сообщение от lion_wine но стараюсь. Похвально! Однородное линейное - это когда все игреки и их производные в линеечку стоят. Могут быть и умноженными на функции от x. Типа того, что вам указал уважаемый Ellipsoid. Неоднородные - слева линейное, а справа f(x). Разделение чисто условное. Просто математикам так удобнее. И решение по разному получается. Обычно сначала решают однородное, потом находят какое-нибудь частное решение неоднородного, потом их соединяют и кричат "Ура!" Добавлено через 1 минуту ЗЫ. В "линеечку" - это значит без квадратов, кубов и прочей шушеры. 0