Определение принадлежности точки к многоугольнику

@shotic996 · Регистрация: 13.04.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день/вечер. Имеются координаты многоугольника в Яндекс картах, они считываются программой написанной на Делфи. Возникает необходимость проверить входит ли объект в данный многоугольник. Объект также имеет координаты в Яндекс картах.
Пример карты и многоугольников(выделены разным цветом) представлен ниже.

Появился вопрос, как грамотно сделать проверку на принадлежность точки к многоугольнику. Точка это объект на карте, который задается координатами. Многоугольник обозначает границы районов и не задан никакой функцией.

Нашёл следующий алгоритм, но знаний геометрии и высшей математики у меня не хватает. Вот сам метод:
"Ближняя точка и ее нормаль"
Алгоритм в данном случае такой:
1. Для тестируемой точки ищем ближайшую точку на многоугольнике. При этом помним, что ближайшая точка может быть не только на отрезке, но и в вершине.
2. Ищем нормаль ближайшей точки. Если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.
3. Вычисляем угол между нормалью ближайшей точки и вектором от тестируемой точки до ближайшей. Если угол меньше 90 градусов, то мы – внутри, иначе – снаружи.
Причем угол как таковой считать не обязательно, достаточно проверить знак косинуса этого угла. Если положительный – внутри, если отрицательный – снаружи. А поскольку нас интересует только знак косинуса, то по сути мы вычисляем знак скалярного произведения между двумя векторами.
Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи.
Пример представлен на рисунке 2.

Вопрос в следующем: непонятно как вычислять нормаль ближайшей точки(если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.)

Если есть способы легче, то буду очень рад Вашим предложениям. Спасибо.

@snake32 · 07.06.2018, 01:12

Сообщение от shotic996

Если есть способы легче

Из точки А пускаете луч и ищите кол-во пересечений луча с отрезками полигона.
Если кол-во пересечений не чётно то точка внутри полигона.

Удобнее пускать луч по Х координате вправо:

Delphi

function GetRayX( const rayY:integer; const p0,p1:TIVec2 ):single;
begin
  Result := ( rayY - p0.y )*( p1.x - p0.x )/( p1.y - p0.y ) + p0.x;
end;
 
procedure NumIntersect( var num:integer; const pt:TIVec2; const poly:TArray<TIVec2> );
    var i:integer;
begin
  for i:=0 to Length(poly)-2 do
    if(( poly[i].y > pt.y )<>( poly[i+1].y > pt.y ))and( pt.x < GetRayX(pt.y, poly[i], poly[i+1]) )then
      Inc(num);
end;
// полигон poly должен быть "замкнутым" - первая точка должна совпадать с последней
function InsidePoly( const pt:TIVec2; const poly:TArray<TIVec2> ):Boolean;
  var num:integer;
begin
  num := 0;
  NumIntersect( num, pt, poly );
  Result := odd(num);
end;

@shotic996 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.04.2015 Сообщений: 16
		1
	Определение принадлежности точки к многоугольнику 06.06.2018, 16:43. Показов 5674. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Добрый день/вечер. Имеются координаты многоугольника в Яндекс картах, они считываются программой написанной на Делфи. Возникает необходимость проверить входит ли объект в данный многоугольник. Объект также имеет координаты в Яндекс картах. Пример карты и многоугольников(выделены разным цветом) представлен ниже. Появился вопрос, как грамотно сделать проверку на принадлежность точки к многоугольнику. Точка это объект на карте, который задается координатами. Многоугольник обозначает границы районов и не задан никакой функцией. Нашёл следующий алгоритм, но знаний геометрии и высшей математики у меня не хватает. Вот сам метод: "Ближняя точка и ее нормаль" Алгоритм в данном случае такой: 1. Для тестируемой точки ищем ближайшую точку на многоугольнике. При этом помним, что ближайшая точка может быть не только на отрезке, но и в вершине. 2. Ищем нормаль ближайшей точки. Если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине. 3. Вычисляем угол между нормалью ближайшей точки и вектором от тестируемой точки до ближайшей. Если угол меньше 90 градусов, то мы – внутри, иначе – снаружи. Причем угол как таковой считать не обязательно, достаточно проверить знак косинуса этого угла. Если положительный – внутри, если отрицательный – снаружи. А поскольку нас интересует только знак косинуса, то по сути мы вычисляем знак скалярного произведения между двумя векторами. Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи. Пример представлен на рисунке 2. Вопрос в следующем: непонятно как вычислять нормаль ближайшей точки(если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.) Если есть способы легче, то буду очень рад Вашим предложениям. Спасибо. Миниатюры 0

	07.06.2018, 01:12

Определение принадлежности точки к многоугольнику

Решение