Доказать, что для любого натурального n верна формула

@erte · Регистрация: 20.09.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что для любого натурального n верна формула
2_*2⁰+3_*2¹+4_*2²+ ...+ (n+1)_*2^n-1= n_*2ⁿ.
1. Записать формулу общего члена последовательности.
2. Выполнить первый шаг индукции.
3. Найти член последовательности с номером k+1.
4. Записать формулу, которую необходимо доказать на 3-ем шаге индукции.
5. Выполнить доказательство формулы.

Байт · 17.10.2012, 11:03

erte, с каким пунктом затруднения?

@erte · 17.10.2012, 12:34 **[ТС]**

3, 4, 5 хотя бы.

@Catstail · 17.10.2012, 12:36

1. Общий вид последовательности A(k)=2*2⁰+3*2¹+...+(k+1)*2^k-1
Берем k=2, получаем A(2)=2+3*2=2+6=8; с другой стороны при k=2 имеем k*2^k=2*4=8.
Формула справедлива.
2. Предположим, что для некоего k имеет место A(k)=k*2^k. Рассмотрим теперь
A(k+1)=2*2⁰+3*2¹+...+(k+1)*2^k-1+(k+2)*2^k
Здесь жирным выделены члены, cоставляющие A(k). По предположению индукции A(k)=k*2^k,
поэтому: A(k+1)=k*2^k+(k+2)*2^k=k*2^k+k*2^k+2*2^k=k*2*2^k
+2*2^k=k*2^k+1+2^k+1=(k+1)*2^k+1
т.е. из справедливости предположения для k следует справедливость для k+1. Формула доказана.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г.) Programma_Boinc 07.04.2025 Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г. ) В рамках наших текущих исследований мы продолжаем изучать гены, которые имеют наибольшую вероятность развития рака легких, выявленные в рамках. . .	Рекурсивные типы в Python py-thonny 07.04.2025 Рекурсивные типы - это типы данных, которые определяются через самих себя или в сочетании с другими типами, которые в свою очередь ссылаются на исходный тип. В мире программирования такие структуры. . .	C++26: Объединение и конкатенация последовательностей и диапазонов в std::ranges NullReferenced 07.04.2025 Работа с последовательностями данных – одна из фундаментальных задач, с которой сталкивается каждый разработчик. C++ прошел длинный путь в эволюции средств для манипуляции коллекциями – от. . .	Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .	PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .
Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .	Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .	std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности NullReferenced 05.04.2025 Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .

@erte 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.09.2012 Сообщений: 44

	Доказать, что для любого натурального n верна формула 16.10.2012, 23:45. Показов 1801. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Доказать, что для любого натурального n верна формула 2_2⁰+3_2¹+4_2²+ ...+ (n+1)_2^n-1= n_*2ⁿ. 1. Записать формулу общего члена последовательности. 2. Выполнить первый шаг индукции. 3. Найти член последовательности с номером k+1. 4. Записать формулу, которую необходимо доказать на 3-ем шаге индукции. 5. Выполнить доказательство формулы. 0

Байт Диссидент 27710 / 17328 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	17.10.2012, 11:03
	erte, с каким пунктом затруднения? 0

@erte 1 / 1 / 0 Регистрация: 20.09.2012 Сообщений: 44
	17.10.2012, 12:34 [ТС]
	3, 4, 5 хотя бы. 0

@Catstail Супер-модератор 37692 / 20940 / 4291 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,440 Записей в блоге: 14
	17.10.2012, 12:36
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1. Общий вид последовательности A(k)=22⁰+32¹+...+(k+1)2^k-1 Берем k=2, получаем A(2)=2+32=2+6=8; с другой стороны при k=2 имеем k2^k=24=8. Формула справедлива. 2. Предположим, что для некоего k имеет место A(k)=k2^k. Рассмотрим теперь A(k+1)=22⁰+32¹+...+(k+1)2^k-1*+(k+2)2^k Здесь жирным выделены члены, cоставляющие A(k). По предположению индукции A(k)=k2^k, поэтому: A(k+1)=k2^k+(k+2)2^k=k2^k+k2^k+22^k=k22^k +22^k=k2^k+1+2^k+1=(k+1)*2^k+1 т.е. из справедливости предположения для k следует справедливость для k+1. Формула доказана. 3

Доказать, что для любого натурального n верна формула

Решение