@Antidoc-049

Я уже голову сломал не знаю как решить, помогите.

Задача. Для каждого натурального числа от n+1 до 2n включительно выберем наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители. Чему будет равна полученная сумма?

Решение. Обозначим наибольший нечётный делитель натурального числа N через d(N), а сумму из условия — через Sn. Докажем индукцией по параметру n, что Sn будет равна
2n
2n(n+1)
n(n+1)/2+3
n² (нужно выбрать)
Для n=1 сумма наибольших нечётных делителей равна
?(какое то число).
Указанная выше формула тоже равна этому значению, поэтому база индукции для n=1 верна.
Докажем переход индукции. Пусть n>1. Докажем, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. Рассмотрим разность Sk+1−Sk. Получим выражение
d(2k+1)−d(k)−d(k+1)
d(2k+1)+d(2k+2)−d(k+1)
d(2k+1)+d(2k+2)−d(k)
d(2k+1)−d(k+1) (нужно выбрать)
Поскольку при умножении на 2 величина на и большего нечётного делителя не меняется, то
d(k)=d(2k+2)
d(k)=d(2k+1)
d(k+1)=d(2k+1)
d(k+1)=d(2k+2) (нужно выбрать)
. Число 2k+1 нечётное, поэтому d(2k+1)=2k+1.
Таким образом,S_k+1−S_k=
2
4(k+1)
k+1
2k+1 (нужно выбрать)
.Воспользовавшись предположением индукции, получим S_k+1=
2k+2=2(k+2)
2k(k+1)+4(k+1)=2(k+1)(k+2)
k(k+1)/2+3+(k+1)=(k+1)(k+2)/2+3
k²+(2k+1)=(k+1)²
Таким образом, утверждение для n=k+1
доказано, то есть переход доказан.

0

@Red white socks

0

@kabenyuk

Мне кажется, если человек, 9-классник, обратился за помощью, то надо помочь, а не давать странные советы. Но это так не по теме.

По теме. Почти все у автора вопроса правильно. Вот коротко все рассуждения.
Докажем, что указанная сумма равна .
Базис индукции уже есть.
Предположим, что это верно для n: то есть сумма наибольших нечетных делителей чисел

равна .
Рассмотрим случай n+1. Вот ряд чисел

Пусть наибольший нечетный делитель числа n+1 равен m, тогда
сумма наибольших нечетных делителей чисел последнего ряда с учетом индуктивного предположения равна


Вот и все.

1

@Red white socks

kabenyuk, с подобной клинической картиной амбулаторное лечение противопоказано. Подобная помощь вовсе не безобидна, а исключительно вредна. Юному товарищу нужно не шататься по форумам, а найти хорошего специалиста (репетитора) с обязательными очными занятиями. И чем раньше он это поймет, тем лучше.
ИМХО, конечно

0

@Antidoc-049

kabenyuk Спасибо большое, но мне нужно выбрать из тех вариантов которые я указал в задаче

0

iifat

Ну дык сделайте ж уже ну хоть что-то! Ну хоть подставьте кое-нить k в четыре равенства, посмотрите, какие верные, какие нет!

1