Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98

@Roza5 · Регистрация: 13.11.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, при разборе решения к задаче возникли вопросы.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Привожу найденное мною решение:

Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства
0,4 + 0,6*0,6 + 0,6*0,4*0,6 + ... + (0,6)²*0,4^n-2>=0,98
В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.

Не могу вывести это "простейшее" логарифмическое неравенство (у меня получается громоздкое неравенство). Помогите, пожалуйста.

@SSC · 06.02.2017, 07:58

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,4 + 0,6*0,6 + 0,6*0,4*0,6 + ... + (0,6)^2*{0,4}^{n-2}>=0,98$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,76 + 0,6^2*0,4 + ... + (0,6)^2*{0,4}^{n-2}>=0,98$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,6^2*(0,4^1 + ... + {0,4}^{n-2})>=0,22$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{i=n-2} 0,4^i >=0,611$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{i=n-2} 0,4^i =\frac{0,4*(1-0,4^{n-2})}{1-0,4} >=0,611$
Осталось только выразить n

@kabenyuk · 06.02.2017, 08:11

Сообщение от Roza5

"простейшее" логарифмическое неравенство

Из вашей формулы и формулы суммы геометрической прогрессии получаем
0.4+0.6²(1+0.4+...+0.4^n-2)=0.4+0.6(1-0.4^n-1)>0.98.
Это неравенство равносильно такому
0.4^n-1<1/3.

Ничего особо громоздкого не наблюдается.

@SSC · 06.02.2017, 13:13

kabenyuk, Вы где-то ошиблись
для выполнения условия
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.4^{n-1}<1/3.$
достаточно n=3
0.4^2=0.16<1/3
однако вероятность попадания по результатам 3-х выстрелов 0.904<0.98
для выполнения условия вероятность больше 0.98 требуется 5 выстрелов, при этом вероятность будет 0.98464

@kabenyuk · 06.02.2017, 13:30

Сообщение от SSC

Вы где-то ошиблись

Я то знаю, где. Это нисколько не усложняет решение. Но пусть Roza5 найдет эту ошибку. Хорошее упражнение на закрепления материала.

@Roza5 3 / 0 / 0 Регистрация: 13.11.2016 Сообщений: 34
		1
	Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98 06.02.2017, 00:11. Показов 3884. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, при разборе решения к задаче возникли вопросы. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Привожу найденное мною решение: Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства 0,4 + 0,60,6 + 0,60,40,6 + ... + (0,6)²0,4^n-2>=0,98 В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству. Не могу вывести это "простейшее" логарифмическое неравенство (у меня получается громоздкое неравенство). Помогите, пожалуйста. 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	06.02.2017, 07:58	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,4 + 0,60,6 + 0,60,40,6 + ... + (0,6)^2{0,4}^{n-2}>=0,98$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,76 + 0,6^20,4 + ... + (0,6)^2{0,4}^{n-2}>=0,98$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,6^2(0,4^1 + ... + {0,4}^{n-2})>=0,22$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{i=n-2} 0,4^i >=0,611$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{i=n-2} 0,4^i =\frac{0,4(1-0,4^{n-2})}{1-0,4} >=0,611$ Осталось только выразить n 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	06.02.2017, 08:11	3
	Сообщение от Roza5 "простейшее" логарифмическое неравенство Из вашей формулы и формулы суммы геометрической прогрессии получаем 0.4+0.6²(1+0.4+...+0.4^n-2)=0.4+0.6(1-0.4^n-1)>0.98. Это неравенство равносильно такому 0.4^n-1<1/3. Ничего особо громоздкого не наблюдается. 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	06.02.2017, 13:13	4
	kabenyuk, Вы где-то ошиблись для выполнения условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.4^{n-1}<1/3.$ достаточно n=3 0.4^2=0.16<1/3 однако вероятность попадания по результатам 3-х выстрелов 0.904<0.98 для выполнения условия вероятность больше 0.98 требуется 5 выстрелов, при этом вероятность будет 0.98464 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	06.02.2017, 13:30	5
	Сообщение от SSC Вы где-то ошиблись Я то знаю, где. Это нисколько не усложняет решение. Но пусть Roza5 найдет эту ошибку. Хорошее упражнение на закрепления материала. 0