Тангенс угла через ряд Тейлора

@OpoPo · Регистрация: 13.09.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, у меня работает данная программа для нахождения маленьких углов. Но, например при нахождении угла в 6,28 радиан выдаёт ошибку. Как решить данную проблему?
(Возможно надо увеличить кол-во итераций, но тогда в значениях выдаётся -nan(ind).)

C

include<stdio.h>
#include<locale.h>
 
int main()
{
    setlocale(LC_ALL, "Rus");
    int n = 10, i = 1;
    long int fakt = 1;
    double x, st, y1 = 0, y2 = 1, znak = 1;
    printf("Введите угол в радианах ");
    scanf_s("%lf", &x);
    st = x;
    if (x == 6.28)
        printf("tg = 0");
    else if (x == 1.57)
        printf("Невозможно");
    else
    {
        do //нахождение sin
        {
            fakt = 1;
            for (int j = 1; j <= i * 2 - 1; j++)
                fakt *= j;
            y1 += znak * (st / fakt);
            i++;
            st *= x * x;
            znak *= -1;
        } while (i < n);
        printf("sin = %lf\n", y1);
        st = x * x;
        i = 1;
        znak = -1;
        do // cos
        {
            fakt = 1;
            for (int j = 1; j <= 2*i; j++)
                fakt *= j;
            y2 += znak * (st / fakt);
            i++;
            st *= x * x;
            znak *= -1;
        } while (i < n);
        printf("cos = %lf\n", y2);
        printf("tg = %lf", y1 / y2);
    }
    return 0;
}

@FFPowerMan · 24.09.2020, 20:15

Сообщение от OpoPo

C++

1	if(x == 6.28)

- это не сработает для дробных.
Насколько я понимаю есть ряды где x должен быть x < 1, иначе ряд не сработает. Возможно у Вас этот ряд.

Добавлено через 14 минут
Дак для тангенса, же вроде свой ряд есть? Зачем sin и cos считать?

ФедосеевПавел · 24.09.2020, 20:55

OpoPo, замените вычисления, чтобы обойтись без непосредственного вычисления факториала.

Покажу для sin(x), а для cos(x) сделаете по аналогии

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$
где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=(-1)^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
предыдущий член ряда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$
их соотношение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n-1}}=- \frac{x^{2}}{(2n)\cdot (2n+1)}$
таким образом

C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
#define EPS 1e-5
int main()
{
 
    double x;
 
    x=6.28;
 
    int n=0;
    double s,a;
    s=a=x;
    do
    {
        n++;
        a *=-x*x/(2.0*n)/(2.0*n+1.0);
        s+=a;
    }
    while((n<100)&&(fabs(a)>EPS));  //тут я что-то намудрил, но пойдёт
 
    printf("sin: Taylor=%f, builtin=%f\n",s, sin(x));
 
    return 0;
}

Для вычисления разложения непосредственно тангенса в ряд потребуется ещё и вычисление чисел Бернулли, что в общем-то не совсем тривиальная задача, хотя и для неё существуют быстрые алгоритмы.

@OpoPo · 24.09.2020, 22:09 **[ТС]**

Мне нельзя использовать библиотеку math.

Добавлено через 1 минуту
Я не понимаю последовательность для тангенса. Там какие-то странные преобразования.

ФедосеевПавел · 24.09.2020, 22:16

Для вычислений чисел Бернулли видел примерно с десяток алгоритмов.
В часности
Функция подсчета чисел Бернулли

Перенос на C не займёт много времени. Но, вероятно это и не требуется.
Вычисляйте sin и cos по реккурентной формуле, сравнивайте cos с нулём и получайте тангенс.

@Catstail · 25.09.2020, 08:50

Даже правильный код начнет давать большую (огромную!) погрешность при больших значениях аргумента. Это принципиальный момент - проблема чисел с плавающей точкой.

ФедосеевПавел · 25.09.2020, 10:42

Мне кажется, что основная ошибка - непосредственное вычисление факториала. В итоге вычисляется 20!, что переполняет разрядность. При малом значении аргумента x это как-то компенсируется.

Для правильного вычисления нужно вычислять по реккурентной формуле.

Но, ТС, похоже совсем не умеет программировать и код где-то нашёл, потому, что мои пояснения о реккурентных вычислениях он отмёл фразой

Сообщение от OpoPo

Мне нельзя использовать библиотеку math.

т.е. даже без попытки разобраться.

Добавлено через 34 минуты

C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
#define EPS 1e-5
int main()
{
 
    double x;
    double sin_x, cos_x, tg_x;
 
    x=30.456;
 
    //sin(x)
    int n=0;
    double s,a;
    s=a=x;
    do
    {
        n++;
        a *=-x*x/(2.0*n)/(2.0*n+1.0);
        s+=a;
    }
    while((n<100)&&(fabs(a)>EPS));
 
    printf("sin: Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",s, sin(x));
    sin_x=s;
 
    //cos(x)
    n=0;
    s=a=1;
    do
    {
        n++;
        a *= -x*x/(2.0*n-1.0)/(2.0*n);
        s += a;
    }
    while((n<100)&&(fabs(a)>EPS));
 
    printf("cos: Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",s, cos(x));
    cos_x=s;
 
    //tg(x)
    tg_x=sin_x/cos_x;
    printf("tg:  Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",tg_x, tan(x));
 
    return 0;
}

хотя и здесь проблема вычислений при больших значениях аргумента остаётся, хотя и перенесена дальше, чем 6,28. Проблема возникает из-за того, что показательная функция x²ⁿ на начальном этапе растёт быстрее факториала (2n)!, что приводит к переполнению разрядной сетки.

Выходов может быть несколько:
1) уменьшить x до приемлемых значений вычитанием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k\cdot \pi$
2) использовать функции двойного (тройного) аргумента для вычисления sin и cos, т.е. x делится на 2^k до достижения приемлемых значений, а потом последовательно вычислять функции удвоением аргумента до достижения значения x.

Добавлено через 57 минут
Процедура my_sincos. Делением на 2 приводим аргумент к значению не превосходящему 1,0 - получим условный z=x/2^k. При этом подсчитываем количество таких делений - k.
Для уменьшенного аргумента без проблем вычисляем значения sin(z) и cos(z).
Потом по формулам удвоения аргумента в цикле k раз вычисляем sin(2z) и cos(2z) и окончательно получаем sin(x) и cos(x).
Чтобы не вводить лишние переменные, вместо z используем x, тем боле, что после вычисления начального приближения через ряд Тейлора, ни значение x, ни значение z уже не требуется.

Продемонстрирую подход со значением x=300, при котором непосредственное вычисление при помощи ряда Тейлора переполняет разрядную сетку.

C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
 
#define EPS 1e-8
#define MAX_N 10000
 
double t_sin(double x)
{
    int n=0;
    double s,a;
    s=a=x;
    do
    {
        n++;
        a *=-x*x/(2.0*n)/(2.0*n+1.0);
        s+=a;
    }
    while((n<MAX_N)&&(fabs(a)>EPS));
    return s;
}
 
double t_cos(double x)
{
    int n=0;
    double s,a;
    s=a=1;
    do
    {
        n++;
        a *= -x*x/(2.0*n-1.0)/(2.0*n);
        s += a;
    }
    while((n<MAX_N)&&(fabs(a)>EPS));
    return s;
}
 
void my_sincos(double x, double *sin_r, double *cos_r)
{
    //приводим аргумент к приемлемым значениям для вычисления
    int k=0;
    while(fabs(x)>1.0) x /=2.0, k++;
    //вычисляем первое приближение через ряд Тейлора
    double sin_x=t_sin(x);
    double cos_x=t_cos(x);
    //вычисляем для исходного аргумента
    for(; k>0; k--)
    {
        double sin_2x=2*sin_x*cos_x;
        double cos_2x=1-2*sin_x*sin_x;
 
        sin_x=sin_2x;
        cos_x=cos_2x;
    }
    *sin_r=sin_x;
    *cos_r=cos_x;
    return;
}
 
int main()
{
 
    double x;
    double sin_x, cos_x, tg_x;
 
    x=300.456;
 
    //sin(x)
    sin_x=t_sin(x);
    printf("sin: Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",sin_x, sin(x));
 
    //cos(x)
    cos_x=t_cos(x);
    printf("cos: Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",cos_x, cos(x));
 
    //tg(x)
    tg_x=sin_x/cos_x;
    printf("tg:  Taylor  = %f\n     built-in= %f\n",tg_x, tan(x));
 
    my_sincos(x,&sin_x,&cos_x);
    printf("sin: My      = %f\n     built-in= %f\n",sin_x, sin(x));
    printf("cos: My      = %f\n     built-in= %f\n",cos_x, cos(x));
 
    return 0;
}

@OpoPo 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.09.2020 Сообщений: 7
	24.09.2020, 22:09 [ТС]	4
	Мне нельзя использовать библиотеку math. Добавлено через 1 минуту Я не понимаю последовательность для тангенса. Там какие-то странные преобразования. 0

ФедосеевПавел Модератор 8543 / 4395 / 1651 Регистрация: 01.02.2015 Сообщений: 13,659 Записей в блоге: 9
	24.09.2020, 22:16	5
	Для вычислений чисел Бернулли видел примерно с десяток алгоритмов. В часности Функция подсчета чисел Бернулли Перенос на C не займёт много времени. Но, вероятно это и не требуется. Вычисляйте sin и cos по реккурентной формуле, сравнивайте cos с нулём и получайте тангенс. 0

@Catstail Модератор 37416 / 20788 / 4278 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,199 Записей в блоге: 14
	25.09.2020, 08:50	6
	Даже правильный код начнет давать большую (огромную!) погрешность при больших значениях аргумента. Это принципиальный момент - проблема чисел с плавающей точкой. 0

	25.09.2020, 10:42

Тангенс угла через ряд Тейлора

Решение