За пределами возможностей радикалов
Запись от Люк Кио размещена 20.05.2024 в 19:30
| Программисты киберфорума говорят, что на сегодняшний день это самая понятная статья о том что такое ультрарадикал и закон корней алгебраических уравнений. Поэтому сочли своим долгом опубликовать её в блогах киберфорума. Название этой статьи самое длинное и непонятное. Странно что содержимое статьи с таким названием оказалось самым лаконичным на сегодняшний день. УЛЬТРАРАДИКАЛ, УЛЬТРАФУНКЦИЯ ЛАМБЕРТА, ОПЕРАЦИЯ СЛИЯНИЕ ФУНКЦИЙ, УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 1. Многочлен первого рода – алгебраическое уравнение любой степени, в т. ч. дробной, отрицательной и комплексной. Коэффициенты членов также могут быть любыми Если членов уравнения три, все корни находятся одним ультрарадикалом. Если четыре члена, операцией слияния над двумя ультрарадикалами. Если пять членов, операцией слияния над тремя ультрарадикалами, и т. д. 2. Многочлен второго рода. Если обе части прологарифмировать, станет понятно, почему такое уравнение названо многочленом. Здесь степени тоже могут быть комплексными. Если членов второго уравнения три, корни находятся одной расширенной функцией Ламберта. Если четыре члена – операцией слияния над двумя такими функциями, и т. д. Частные случаи этих многочленов решаются радикалом (3), натуральным логарифмом (4) и обычной функцией Ламберта (5). В 2023 году была найдена универсальная функция, с помощью которой можно находить корни всех пятерых вышеперечисленных уравнений. Начнём с первого – алгебраического уравнения. Вначале рассмотрим, как располагаются корни на комплексной плоскости, когда уравнение состоит из двух членов, из трёх и т. д Если членов всего два, и степени целые, вещественные числа, количество ненулевых корней равно разнице степеней членов. Все корни лежат на радикальной окружности, равномерно удалены друг от друга, то есть являются вершинами вписанного в неё равностороннего многоугольника. Впервые комплексную плоскость и расположение на ней корней двучлена показал ученик и помощник Ньютона Абраха́м де Муа́вр. Муавр предложил формулу, состоящую только из известных в то время функций синуса и косинуса. Также Абрахам де Муавр показал, что значение функции «arg» можно получать обратными тригонометрическими функциями, но для этого вещественную и мнимую части параметра нужно разделять и использовать, как дробь двух разных, независимых друг от друга параметров. Позднее Леона́рд Э́йлер нашёл удобное тождество Поэтому сегодня мы можем получать все корни двучлена более короткой формулой К примеру, у нас был двучлен значит Корни этого уравнения можно найти по формуле Они будут располагаться на радикальной окружности, на равном расстоянии друг от друга. Вставим между ними один член, начнём увеличивать его коэффициент, и пронаблюдаем, как корни этого трёхчлена удаляются от вершин радикального многоугольника. В лаборатории Галактика Платон в меню примеры, есть и другие наглядные пособия, демонстрирующие закон корней алгебраических уравнений. Чем больше модуль коэффициента среднего члена мы берём, тем дальше отходят корни трёхчлена от вершин равностороннего семиугольника. Теперь уже становится заметным, что при увеличении модуля коэффициента среднего члена корни трёхчлена приближаются к вершинам равностороннего квадрата и равностороннего треугольника. В этих примерах все корни уравнения лежали на одной ветви. Но в первых уравнениях они лежали на одной кисти, в последних – на двух разных кистях. Как видно, существует некоторый порог, после которого все корни трёхчлена становятся ближе к вершинам уже двух других радикальных многоугольников. Вместо одного семиугольника, нам уже приходится рассматривать отдельно квадрат и треугольник. Вершины этих двух фигур мы также можем легко определить. Вершины квадрата – это корни двучлена, состоящего из первого и среднего членов заданного трёхчлена. Вершины треугольника – корни двучлена, от второго и третьего членов исходного уравнения. А как определить расстояние от этих вершин до корней уравнения? Чтобы получить корни трёхчленного уравнения, используется ультрарадикальная функция brn, названная в честь Эрланда Самуэля Бринга. Ультрарадикал – это однозначная операция (функция), также как и арифметический корень. Чтобы получить арифметический корень, мы вводим в калькулятор вначале подрадикальное значение, затем значение степени радикала. Чтобы получить ультрарадикал, вводим в калькулятор вначале подультрарадикальное значение R, затем значения B и N, которые являются разницами степеней определённых членов исходного уравнения. Итак, у нас есть все необходимые кнопки операций (функций) для нахождения всех корней трёхчлена с любыми степенями. А как узнать, вершины каких многоугольников нам использовать в заданном трёхчленном алгебраическом уравнении? Ведь у трёхчлена можно брать три разных пары членов. У каждого будет радикальная окружность со своим диаметром. Во-первых, нам понадобится величина D – диаметрант. Когда диаметрант равен 1, диаметры всех трёх окружностей равны. Но даже когда все окружности имеют одинаковый диаметр, разные корни удалены от разных вершин на разное расстояние. Чтобы степенной ряд ультрарадикала сходился для всех корней, нужно сравнивать диаметрант с другой величиной. Будем называть эту величину T – степенант. Теперь, когда мы знаем и диаметрант, и степенант трёхчлена, мы легко можем узнать, вершины каких равносторонних многоугольников нужно брать, чтобы степенной ряд ультрарадикала сходился для каждого корня заданного уравнения. Это делается простым сравнением диаметранта со степенантом. Удобно будет использовать следующее понятие локализации – кисть корней. У трёхчлена корни всей ветки могут располагаться либо на одной кисти, либо на двух кистях. Другими словами, теперь, когда мы знаем, чему равны D и T, мы можем найти или все корни на одной кисти Blue, или все корни двух кистей Red и Navy. В любом случае, количество корней всей ветки будет всегда одинаково. Если все степени алгебраического уравнения – целые, вещественные числа, ветка всего одна. Частные случаи ультрарадикала находили независимо друг от друга, приблизительно в одно и то же время Бринг, Жеррар и Ламберт. Абсолютный ультрарадикал был найден авторами этой статьи в 2018 г. Пока он практически не исследован толковыми математиками. Неизвестна его производная и интеграл. Непонятно, как он ведёт себя за пределами области сходимости. Но чтобы находить все корни абсолютно любого трёхчленного алгебраического уравнения, вышеперечисленных правил более чем достаточно. Значит, ультрарадикалом можно смело пользоваться уже сейчас. Продолжение можно почитать здесь sibak.pdf |
Всего комментариев 0
Комментарии
