Сведение квадратичной формы к каноническому виду

Запись от jogano размещена 19.01.2014 в 21:16
Обновил(-а) jogano 23.01.2014 в 05:18

Есть квадратичная форма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ , которую нужно свести к каноническому виду. Последовательность действий такая:
1) Выполняется центрирование - перенос начала системы координат в такую точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0)$ , чтобы коэффициенты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D,E$ были бы равны по 0. Т.е. вводятся новые координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x';y')$ такие, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=x'+x_0; y=y'+y_0$ . В общем виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0)=\left(\frac{BE-CD}{AC-B^2}; \frac{BD-AE}{AC-B^2}\right)$ . Подставив вместо x , y выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'+\frac{BE-CD}{AC-B^2},\: y'+\frac{BD-AE}{AC-B^2}$ , получаем центрированное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F-\frac{AE^2-2BDE+CD^2}{AC-B^2}=0$ . Свободный член обозначим как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F'=F-\frac{AE^2-2BDE+CD^2}{AC-B^2}$ .
Центрированное уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F'=0$ .
2) Далее систему координат, если это необходимо, поворачиваем вокруг нового начала координат так, чтобы коэффициент при произведении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'$ был бы равен 0. Если у исходной кривой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=0$ , то поворачивать систему координат не нужно - кривая после центрирования уже приведена к каноническому виду. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B\ne 0$ необходим поворот осей координат.
При повороте системы координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x';y')$ на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ против часовой стрелки получаем новую систему координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x";y")$ . Формулы для преобразования такие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'=x''\cdot \cos\alpha-y''\cdot \sin\alpha ;\; y'=x''\cdot \sin\alpha +y''\cdot \cos\alpha$ .
Подставляя эти выражения вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x',y'$ в уравнение центрированной кривой и приравнивая коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x''y''$ к 0, получаем угол поворота. Этот коэффициент равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(C-A)\sin 2\alpha +2B\cos 2\alpha$
Возможны два варианта:
- $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=C$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = \frac{\pi}{4}$ и кривая принимает канонический вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> (A+B)x''^2+(A-B)y''^2+F'=0$
- $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\ne C$ , тогда угол ищется из уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg2\alpha=\frac{2B}{A-C}$ (в зависимости от знака тангенса берем угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ в пределах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\frac{\pi}{4};\:\frac{\pi}{4})$ ). Тогда новые коэффициенты канонического уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'x''^2+C'y''^2+F'=0$ будут равны
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'=A\cos^2\alpha+2B\sin\alpha \cos\alpha +C\sin^2\alpha$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'=A\sin^2\alpha-2B\sin\alpha \cos\alpha +C\cos^2\alpha$

Еще раз насчет системы координат - начало координат системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x'';y'')$ лежит в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;\: y_0)$ , а оси повернуты вокруг этой точки на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ (против часовой стрелки, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha >0$ ) по отношению к осям системы (x;y).

Размещено в Без категории

Показов 4776 Комментарии 3

« Производные y', y" по х для функций x(t) и y(t) Главная страница Найти точку пересечения двух отрезков в пространстве »

Всего комментариев 3

Комментарии

Вообще-то, квадратичной формой (недавно как раз гуглил) все упорно называют однородный многочлен второго порядка, то бишь, без первых/нулевых степеней. Переменных там не обязательно две. И уж совершенно точно: квадратичная функция — это функция, а у тебя уравнение кривой второго порядка.

Запись от iifat размещена 29.01.2014 в 15:15 iifat вне форума

Цитата:

Сообщение от iifat

Ну уж нет.В инете могут писать что угодно,но квадрат.форма определена правильно.Другое дело,каноническая квадратичная форма,содержащая только квадраты с коэффициентами 1.

Запись от Matan! размещена 20.03.2014 в 09:32 Matan! вне форума

Цитата:

Сообщение от iifat

Я писал так, как эта задача формулируется для студентов. Пусть будет кривая второго порядка. О квадратичной функции у меня ни слова.

Запись от jogano размещена 20.03.2014 в 12:00 jogano вне форума

Архив
< Декабрь 2024
Вс	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб
24	25	26	27	28	29	30
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	1	2	3	4

Сообщение форума

Отменить изменения