Сведение квадратичной формы к каноническому виду

Запись от jogano размещена 19.01.2014 в 21:16

Есть квадратичная форма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ , которую нужно свести к каноническому виду. Последовательность действий такая:
1) Выполняется центрирование - перенос начала системы координат в такую точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0)$ , чтобы коэффициенты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D,E$ были бы равны по 0. Т.е. вводятся новые координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x';y')$ такие, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=x'+x_0; y=y'+y_0$ . В общем виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;y_0)=\left(\frac{BE-CD}{AC-B^2}; \frac{BD-AE}{AC-B^2}\right)$ . Подставив вместо x , y выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'+\frac{BE-CD}{AC-B^2},\: y'+\frac{BD-AE}{AC-B^2}$ , получаем центрированное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F-\frac{AE^2-2BDE+CD^2}{AC-B^2}=0$ . Свободный член обозначим как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F'=F-\frac{AE^2-2BDE+CD^2}{AC-B^2}$ .
Центрированное уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F'=0$ .
2) Далее систему координат, если это необходимо, поворачиваем вокруг нового начала координат так, чтобы коэффициент при произведении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'$ был бы равен 0. Если у исходной кривой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=0$ , то поворачивать систему координат не нужно - кривая после центрирования уже приведена к каноническому виду. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B\ne 0$ необходим поворот осей координат.
При повороте системы координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x';y')$ на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ против часовой стрелки получаем новую систему координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x";y")$ . Формулы для преобразования такие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'=x''\cdot \cos\alpha-y''\cdot \sin\alpha ;\; y'=x''\cdot \sin\alpha +y''\cdot \cos\alpha$ .
Подставляя эти выражения вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x',y'$ в уравнение центрированной кривой и приравнивая коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x''y''$ к 0, получаем угол поворота. Этот коэффициент равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(C-A)\sin 2\alpha +2B\cos 2\alpha$
Возможны два варианта:
- $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=C$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha = \frac{\pi}{4}$ и кривая принимает канонический вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> (A+B)x''^2+(A-B)y''^2+F'=0$
- $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\ne C$ , тогда угол ищется из уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg2\alpha=\frac{2B}{A-C}$ (в зависимости от знака тангенса берем угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ в пределах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\frac{\pi}{4};\:\frac{\pi}{4})$ ). Тогда новые коэффициенты канонического уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'x''^2+C'y''^2+F'=0$ будут равны
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A'=A\cos^2\alpha+2B\sin\alpha \cos\alpha +C\sin^2\alpha$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'=A\sin^2\alpha-2B\sin\alpha \cos\alpha +C\cos^2\alpha$

Еще раз насчет системы координат - начало координат системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x'';y'')$ лежит в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_0;\: y_0)$ , а оси повернуты вокруг этой точки на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ (против часовой стрелки, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha >0$ ) по отношению к осям системы (x;y).

Метки геометрия

Размещено в Без категории

« Производные y', y" по х для функций x(t) и y(t) Главная страница Найти точку пересечения двух отрезков в пространстве »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 3

Комментарии

Вообще-то, квадратичной формой (недавно как раз гуглил) все упорно называют однородный многочлен второго порядка, то бишь, без первых/нулевых степеней. Переменных там не обязательно две. И уж совершенно точно: квадратичная функция — это функция, а у тебя уравнение кривой второго порядка.

Запись от iifat размещена 29.01.2014 в 15:15 iifat вне форума

Сообщение от iifat

Ну уж нет.В инете могут писать что угодно,но квадрат.форма определена правильно.Другое дело,каноническая квадратичная форма,содержащая только квадраты с коэффициентами 1.

Запись от Matan! размещена 20.03.2014 в 09:32 Matan! вне форума

Сообщение от iifat

Я писал так, как эта задача формулируется для студентов. Пусть будет кривая второго порядка. О квадратичной функции у меня ни слова.

Запись от jogano размещена 20.03.2014 в 12:00 jogano вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

Новые блоги и статьи

Все статьи

Все блоги /

Контейнеризация React приложений с Docker

Reangularity 03.04.2025

Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .

Свой попап в SwiftUI

mobDevWorks 03.04.2025

SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .

Антипаттерны микросервисной архитектуры

ArchitectMsa 03.04.2025

Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .

std::mutex в C++: Советы и примеры использования

bytestream 03.04.2025

std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .

Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга.

Hrethgir 03.04.2025

Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering

Hrethgir 02.04.2025

Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .

На любовном киберфронте

Alexander-7 01.04.2025

Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .

Как работает Node.js изнутри

run.dev 29.03.2025

Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .

Моки в Python: Mock Object Library

py-thonny 29.03.2025

Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .

JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности

run.dev 29.03.2025

В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

Сообщение форума

Отменить изменения