2 интересные задачи

@MihaniX · Регистрация: 06.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств.

1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.
2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы.

@cmath · 17.08.2013, 17:49

Задача I:
1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом.
2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю.
Решение:
Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно.

Добавлено через 3 минуты
Решение второй задачи можете получить из первой.

iifat · 18.08.2013, 03:55

1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью?

@Catstail · 18.08.2013, 18:03

1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=a*x₁+b*x₂+...+z*x_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

@MihaniX 140 / 50 / 2 Регистрация: 06.08.2013 Сообщений: 292 Записей в блоге: 4

	2 интересные задачи 17.08.2013, 12:51. Показов 1501. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств. 1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис. 2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.08.2013, 17:49
	Задача I: 1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом. 2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю. Решение: Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно. Добавлено через 3 минуты Решение второй задачи можете получить из первой. 1

iifat 2799 / 1845 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,357
	18.08.2013, 03:55
	1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью? 0

@Catstail Супер-модератор 37686 / 20934 / 4290 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,433 Записей в блоге: 14
	18.08.2013, 18:03
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=ax₁+bx₂+...+zx_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный* вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис. 3