2 интересные задачи

@MihaniX · Регистрация: 06.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств.

1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.
2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы.

@cmath · 17.08.2013, 17:49

Задача I:
1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом.
2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю.
Решение:
Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно.

Добавлено через 3 минуты
Решение второй задачи можете получить из первой.

iifat · 18.08.2013, 03:55

1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью?

@Catstail · 18.08.2013, 18:03

1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=a*x₁+b*x₂+...+z*x_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности NullReferenced 05.04.2025 Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .	Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .
Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .	Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .

@MihaniX 140 / 50 / 2 Регистрация: 06.08.2013 Сообщений: 292 Записей в блоге: 4

	2 интересные задачи 17.08.2013, 12:51. Показов 1505. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств. 1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис. 2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.08.2013, 17:49
	Задача I: 1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом. 2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю. Решение: Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно. Добавлено через 3 минуты Решение второй задачи можете получить из первой. 1

iifat 2800 / 1846 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,358
	18.08.2013, 03:55
	1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью? 0

@Catstail Супер-модератор 37689 / 20937 / 4291 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,437 Записей в блоге: 14
	18.08.2013, 18:03
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=ax₁+bx₂+...+zx_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный* вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис. 3