2 интересные задачи

@MihaniX · Регистрация: 06.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств.

1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.
2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы.

@cmath · 17.08.2013, 17:49

Задача I:
1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом.
2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю.
Решение:
Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно.

Добавлено через 3 минуты
Решение второй задачи можете получить из первой.

iifat · 18.08.2013, 03:55

1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью?

@Catstail · 18.08.2013, 18:03

1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=a*x₁+b*x₂+...+z*x_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис.

Новые блоги и статьи
Что такое HCL Notes и как с ним работать InfoMaster 10.01.2025 HCL Notes (ранее известный как IBM Notes и Lotus Notes) представляет собой комплексную платформу для совместной работы и обмена информацией в корпоративной среде. Это многофункциональное решение,. . .	Как работать с Git из Windows и Visual Studio InfoMaster 10.01.2025 Работа с Git в Windows Работа с Git в операционной системе Windows может быть осуществлена с помощью различных инструментов, каждый из которых обладает своими уникальными возможностями и. . .	Аналог оператора switch case в Python InfoMaster 10.01.2025 Оператор switch case используется в программировании для выбора одного из нескольких вариантов исполнения кода. Однако в языке Python этот оператор отсутствует. Понимание аналогов switch case в. . .	Отличия абстрактного класса от интерфейса InfoMaster 10.01.2025 В современной разработке программного обеспечения существуют два основных механизма реализации абстракции: абстрактные классы и интерфейсы. Эти инструменты, хотя и схожи в своей основной цели -. . .	Как работать в Git InfoMaster 10.01.2025 Git — это одна из наиболее популярных систем контроля версий, которая активно используется разработчиками по всему миру. Она позволяет эффективно управлять изменениями в коде, координировать работу. . .	Реализация передвижения персонажа в Unity3d на C# InfoMaster 10.01.2025 Реализация передвижения персонажа в Unity3D начинается с правильной настройки проекта. Этот этап критически важен для создания отзывчивого и плавного управления. Рассмотрим основные шаги для создания. . .
Docker: руководство для начинающих InfoMaster 10.01.2025 В современном мире разработки программного обеспечения контейнеризация стала неотъемлемой частью процесса создания и развертывания приложений. Docker, как ведущая платформа контейнеризации, произвела. . .	Книги и учебные ресурсы по C# InfoMaster 08.01.2025 Базовые учебники и руководства Одной из лучших книг для начинающих является "C# 10 и . NET 6 для начинающих" Эндрю Троелсена и Филиппа Джепикса . Книга последовательно раскрывает основные концепции. . .	Что такое NullReferenceException и как исправить? InfoMaster 08.01.2025 NullReferenceException - одно из самых распространенных исключений, с которым сталкиваются разработчики на C#. Это исключение возникает при попытке обратиться к членам объекта (методам, свойствам или. . .	Что такое Null Pointer Exception (NPE) и как это исправить? InfoMaster 08.01.2025 Null Pointer Exception (NPE) - это одно из самых распространенных исключений в Java, которое возникает при попытке использовать ссылку на объект, значение которой равно null. Это исключение относится. . .	Русский язык в консоли C++ InfoMaster 08.01.2025 При разработке программ на C++ одной из частых проблем, с которой сталкиваются русскоязычные программисты, является корректное отображение кириллицы в консольных приложениях. Эта проблема особенно. . .	Telegram бот на C# InfoMaster 08.01.2025 Разработка ботов для Telegram стала неотъемлемой частью современной экосистемы мессенджеров. C# предоставляет мощный и удобный инструментарий для создания разнообразных ботов, от простых. . .

@MihaniX 140 / 50 / 2 Регистрация: 06.08.2013 Сообщений: 292 Записей в блоге: 4
		1
	2 интересные задачи 17.08.2013, 12:51. Показов 1476. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств. 1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис. 2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.08.2013, 17:49	2
	Задача I: 1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом. 2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю. Решение: Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно. Добавлено через 3 минуты Решение второй задачи можете получить из первой. 1

iifat 2769 / 1817 / 200 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,262
	18.08.2013, 03:55	3
	1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью? 0

@Catstail Модератор 37425 / 20797 / 4280 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,211 Записей в блоге: 14
	18.08.2013, 18:03	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=ax₁+bx₂+...+zx_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный* вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис. 3