2 интересные задачи

@MihaniX · Регистрация: 06.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств.

1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.
2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы.

@cmath · 17.08.2013, 17:49

Задача I:
1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом.
2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю.
Решение:
Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно.

Добавлено через 3 минуты
Решение второй задачи можете получить из первой.

iifat · 18.08.2013, 03:55

1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью?

@Catstail · 18.08.2013, 18:03

1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=a*x₁+b*x₂+...+z*x_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис.

@MihaniX 140 / 50 / 2 Регистрация: 06.08.2013 Сообщений: 292 Записей в блоге: 4
		1
	2 интересные задачи 17.08.2013, 12:51. Показов 1470. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств. 1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис. 2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.08.2013, 17:49	2
	Задача I: 1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом. 2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю. Решение: Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно. Добавлено через 3 минуты Решение второй задачи можете получить из первой. 1

iifat 2731 / 1812 / 197 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,234
	18.08.2013, 03:55	3
	1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью? 0

@Catstail Модератор 37302 / 20736 / 4272 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,127 Записей в блоге: 14
	18.08.2013, 18:03	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=ax₁+bx₂+...+zx_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный* вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис. 3