2 интересные задачи

@MihaniX · Регистрация: 06.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств.

1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис.
2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы.

@cmath · 17.08.2013, 17:49

Задача I:
1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом.
2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю.
Решение:
Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно.

Добавлено через 3 минуты
Решение второй задачи можете получить из первой.

iifat · 18.08.2013, 03:55

1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью?

@Catstail · 18.08.2013, 18:03

1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=a*x₁+b*x₂+...+z*x_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сайт компании Red-Star-Soft переехал на новый хостинг! Etyuhibosecyu 06.03.2025 Как и советовал Rius, я покинул хостинг от "Ru-Center" и перенес сайт red-star-soft. com на хостинг с более позитивными отзывами (спойлер: найти его было далеко не просто) (чтобы прочитать текст,. . .	Альтернативная сериализация в Java: сравнение Kryo, Protobuf и Avro Jamaican 06.03.2025 Сериализация — один из краеугольных процессов в Java-разработке. Превращение объектов в поток байтов для хранения или передачи по сети с последующим восстановлением звучит просто, но реализация этого. . .	Битва Java-кешей: Сравниваем Ehcache, Caffeine и Hazelcast Jamaican 06.03.2025 Производительность — вечный Святой Грааль для Java-разработчиков. Мы оптимизируем алгоритмы, настраиваем JVM, распараллеливаем процессы, но неизменно приходим к одному и тому же средству ускорения —. . .	Параметры подтверждения сообщения Kafka Jamaican 06.03.2025 Среди распределённых систем и высоконагруженных приложений Apache Kafka занимает особое место. Эта платформа потоковой обработки данных давно стала стандартом де-факто для организаций, которым. . .	Оптимизация времени запуска Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Вы когда-нибудь сидели, барабаня пальцами по столу, пока ваше Spring Boot приложение медленно поднимается? Этот момент, когда вы успеваете сходить за кофе, пообщаться с коллегами и вернуться, а. . .
Деплой Kubernetes в Java: масштабирование Spring Boot приложений Jamaican 06.03.2025 Когда ваше Spring Boot приложение внезапно получает всплеск трафика или требует плавного обновления без простоя — традиционные методы деплоя часто пасуют. Именно здесь на сцену выходит Kubernetes —. . .	Бессерверные приложения Java: сравнение AWS Lambda и Azure Functions Jamaican 06.03.2025 Что такое "бессерверные приложения" и почему они так привлекательны? Вопреки названию, серверы никуда не исчезли — просто теперь управление инфраструктурой перекладывается на плечи облачного. . .	Безопасность микросервисов с OAuth2 и OpenID Connect Jamaican 06.03.2025 С ростом популярности микросервисов растут и проблемы, связанные с их безопасностью. В отличие от монолитных приложений, где безопасность можно было обеспечить централизованно, микросервисная. . .	Структурное логирование в Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Представьте, что вы управляете сотней микросервисов в продакшн-среде. Внезапно один из сервисов начинает давать сбои, и вам нужно срочно выяснить причину. Вы открываете логи и видите бесконечные. . .	Предотвращение XSS, CSRF и SQL-инъекций в JavaScript bytestream 05.03.2025 В эпоху цифровизации безопасность веб-приложений становится не просто рекомендацией, а жизненной необходимостью. Если вы разрабатываете приложения на JavaScript, вам наверняка знакома эта. . .

@MihaniX 140 / 50 / 2 Регистрация: 06.08.2013 Сообщений: 292 Записей в блоге: 4
		1
	2 интересные задачи 17.08.2013, 12:51. Показов 1496. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста решение (подсказки тоже пойдут) 2 задач на тему векторных пространств. 1. Доказать, что если в m мерном векторном пространстве какие-то m векторов линейно независимы, то они представляют собой его базис. 2. Доказать, что произвольную систему из n линейно независимых векторов можно дополнить до базиса в m мерном векторном пространстве, где n < m. Любые n векторов в нем при m < n линейно зависимы. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.08.2013, 17:49	2
	Задача I: 1) Базис: множество n векторов n-мерного пространства таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этого множества единственным образом. 2) Линейная независимость: n векторов n-мерного пространства линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при слагаемых в комбинации равны нулю. Решение: Очевидно, что если n векторов n-мерного пространства линейно независимы, то матрица, составленная из их координат, не вырождена, поэтому система с такой матрицей всегда разрешима и решение её единственно. Добавлено через 3 минуты Решение второй задачи можете получить из первой. 1

iifat 2786 / 1833 / 201 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,334
	18.08.2013, 03:55	3
	1) Возьмём любой вектор и добавим в нашу систему. Что там станет с линейной зависимостью? 0

@Catstail Супер-модератор 37643 / 20891 / 4285 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,345 Записей в блоге: 14
	18.08.2013, 18:03	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Что такое безис? Это система векторов {x₁ x₂ ... x_n}, позволяющая представить любой вектор пространства v как линейную комбинацию v=ax₁+bx₂+...+zx_n. Теперь смотрим в условие. Размерность пространства m и даны m линейно-независимых векторов {x₁, x₂,... x_m}. Берем произвольный* вектор w и добавляем его к совокупности {x₁, x₂,... x_m}. Векторов становится m+1. Но размерность пространства = m. Это значит, что любые m+1 векторов линейно зависимы. Это означает, что вектор w можно представить линейной комбинацией векторов {x₁, x₂,... x_m}. Поскольку вектор w произволен, то доказано, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации {x₁, x₂,... x_m}. Что и означает, что {x₁, x₂,... x_m} - есть базис. 3