Линейный оператор

@jen941 · Регистрация: 19.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи...

Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a]

iifat · 31.05.2013, 17:37

Что это такое — линейный оператор?

@Catstail · 31.05.2013, 18:03

Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку:

[a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д.

Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1) $

И второе [[a,x],a]:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}= $ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3))

Если обозначить искомую матрицу так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix} $

и привести подобные члены, то получится:

c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д.

(если я нигде не напутал...)

@Том Ардер · 31.05.2013, 18:57

Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение.
Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php

iifat · 01.06.2013, 05:39

Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$

@Catstail · 01.06.2013, 18:54

Сообщение от iifat

достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.

- недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .

@jen941 1 / 1 / 0 Регистрация: 19.12.2012 Сообщений: 69

	Линейный оператор 31.05.2013, 17:05. Показов 5316. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи... Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a] 0

iifat 2800 / 1846 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,358
	31.05.2013, 17:37
	Что это такое — линейный оператор? 0

@Catstail Супер-модератор 37689 / 20937 / 4291 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,437 Записей в блоге: 14
	31.05.2013, 18:03
	Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку: [a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д. Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1)<br />$ И второе [[a,x],a]: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}=<br />$ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3)) Если обозначить искомую матрицу так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix}<br />$ и привести подобные члены, то получится: c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д. (если я нигде не напутал...) 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	31.05.2013, 18:57
	Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение. Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php 1

iifat 2800 / 1846 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,358
	01.06.2013, 05:39
	Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$ 0

@Catstail Супер-модератор 37689 / 20937 / 4291 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,437 Записей в блоге: 14
	01.06.2013, 18:54
	Сообщение от iifat достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. - недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить. 0