Линейный оператор

@jen941 · Регистрация: 19.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи...

Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a]

iifat · 31.05.2013, 17:37

Что это такое — линейный оператор?

@Catstail · 31.05.2013, 18:03

Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку:

[a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д.

Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1) $

И второе [[a,x],a]:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}= $ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3))

Если обозначить искомую матрицу так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix} $

и привести подобные члены, то получится:

c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д.

(если я нигде не напутал...)

@Том Ардер · 31.05.2013, 18:57

Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение.
Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php

iifat · 01.06.2013, 05:39

Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$

@Catstail · 01.06.2013, 18:54

Сообщение от iifat

достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.

- недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

@jen941 1 / 1 / 0 Регистрация: 19.12.2012 Сообщений: 69

	Линейный оператор 31.05.2013, 17:05. Показов 5309. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи... Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a] 0

iifat 2799 / 1845 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,357
	31.05.2013, 17:37
	Что это такое — линейный оператор? 0

@Catstail Супер-модератор 37686 / 20934 / 4290 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,433 Записей в блоге: 14
	31.05.2013, 18:03
	Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку: [a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д. Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1)<br />$ И второе [[a,x],a]: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}=<br />$ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3)) Если обозначить искомую матрицу так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix}<br />$ и привести подобные члены, то получится: c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д. (если я нигде не напутал...) 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	31.05.2013, 18:57
	Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение. Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php 1

iifat 2799 / 1845 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,357
	01.06.2013, 05:39
	Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$ 0

@Catstail Супер-модератор 37686 / 20934 / 4290 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,433 Записей в блоге: 14
	01.06.2013, 18:54
	Сообщение от iifat достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. - недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить. 0