Линейный оператор

@jen941 · Регистрация: 19.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи...

Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a]

iifat · 31.05.2013, 17:37

Что это такое — линейный оператор?

@Catstail · 31.05.2013, 18:03

Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку:

[a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д.

Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1) $

И второе [[a,x],a]:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}= $ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3))

Если обозначить искомую матрицу так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix} $

и привести подобные члены, то получится:

c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д.

(если я нигде не напутал...)

@Том Ардер · 31.05.2013, 18:57

Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение.
Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php

iifat · 01.06.2013, 05:39

Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$

@Catstail · 01.06.2013, 18:54

Сообщение от iifat

достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения.

- недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить.

@jen941 1 / 1 / 0 Регистрация: 19.12.2012 Сообщений: 69
		1
	Линейный оператор 31.05.2013, 17:05. Показов 5239. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи... Пусть вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ трехмерного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} \right>$ , а вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ в том же базисе имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3} \right>$ . Выяснить, является ли оператор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)$ линейным и найти в этом случае его матрицу в исходном базисе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(\vec{x} \right) =$ [[a,x],a] 0

iifat 2731 / 1812 / 197 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,234
	31.05.2013, 17:37	2
	Что это такое — линейный оператор? 0

@Catstail Модератор 37302 / 20736 / 4272 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,127 Записей в блоге: 14
	31.05.2013, 18:03	3
	Этот оператор зависит не от x, а от a. Оператор будет линейным, поскольку: [a,x+y]= [a,x]+[a,y] и [a,λx]=λ[a,x] -> [[a,x+y],a]=[[a,x],a]+[[a,y],a] и т.д. Чтобы получить матрицу оператора, нужно просто расписать векторное произведение [a,x] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k\\ a1 & a2 & a3 \\ x1 & x2 & x3\end{vmatrix} = i(a2x3-a3x2)-j(a1x3-a3x1)+k(a1x2-a2x1)<br />$ И второе [[a,x],a]: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}i & j & k \\ a2x3-a3x2 & a3x1-a1x3 & a1x2-a2x1 \\ a1 & a2 & a3\end{vmatrix}=<br />$ = i(a3(a3x1-a1x3)-a2(a1x2-a2x1)) + j(a3(a3x2-a2x3)+a1(a3x1-a1x3))+k(a2(a2x3-a3x2)-a1(a3x1-a1x3)) Если обозначить искомую матрицу так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}c11 & c12 & c13\\ c21 & c22 & c23\\ c31 & c32 & c33\end{pmatrix}<br />$ и привести подобные члены, то получится: c11=a3²-a2²; с12=-a2a1; c13=-a1a3 и т.д. (если я нигде не напутал...) 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	31.05.2013, 18:57	4
	Вместо нудной возни с компонентами векторов нужно сначала упростить двойное векторное произведение. Напр. так http://www.pm298.ru/preobr5.php 1

iifat 2731 / 1812 / 197 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,234
	01.06.2013, 05:39	5
	Всё это очень полезно, но таки для решения задачи достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[\left[a,(k_1x_1+k_2x_2)\right],a\right]=\left[\left(k_1\left[a,x_1\right]+k_2\left[a,x_2\right]\right),a\right]=k_1\left[\left[a,x_1\right],a\right]+k_2\left[\left[a,x_2\right],a\right]$ 0

@Catstail Модератор 37302 / 20736 / 4272 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,127 Записей в блоге: 14
	01.06.2013, 18:54	6
	Сообщение от iifat достаточно знать определение линейности оператора и свойство билинейности векторного произведения. - недостаточно. Нужно ведь еще матрицу получить. 0