Линейные операторы - собственные векторы матрицы и характеристическое уравнение

@[-alex-] · Регистрация: 15.04.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Внезапно родной универ потребовал решения задач, которые теоретически заданы и не были. Литература почитана по возможности, но тем не менее.

Вектор Х=(²_-2) является собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ=2. Тогда произведение А•Х равно:
1)(⁰_-4)
2)(⁴_-4) - этот вариант кажется мне логичным, но я не особо понял, при АХ = λEX равнозначно ли оно AX = λX
3)(⁴₀)
4)(¹_-1)

Вектор Х=(⁰₃) является собственным вектором матрицы A=(²₄⁰_-1) Тогда соответствующее собственное значение равно:
а) 2;
б) 1;
в) 0;
г) -1.

Задано характеристическое уравнение k²-5k-1=0 матрицы. Тогда матрица может иметь вид:
1)(¹₁⁵₄)
2)(¹_-5^-1₁)
3)(²₃¹₅)
4)(¹₅^-1_-1)

Буду рад любой помощи.

@helter · 06.05.2013, 00:45

Сообщение от [-alex-

;4514549]АХ = λEX равнозначно ли оно AX = λX

Во-первых, откуда единичная. Во-вторых, даже раз у вас она откуда-то взялась, вы, конечно, знаете, что при умножении единичной матрицы на любую матрицу А (что справа, что слева) получается А.

Сообщение от [-alex-

;4514549]Вектор Х=(03) является собственным вектором матрицы A=(240-1) Тогда соответствующее собственное значение равно:

Нужно вспомнить определение собственного вектора и попробовать применить его ко всем случаям по очереди.

Сообщение от [-alex-

;4514549]Задано характеристическое уравнение k2-5k-1=0 матрицы. Тогда матрица может иметь вид:

Нужно вспомнить определение характеристического многочлена и попробовать применить его ко всем случаям по очереди. Также можно вспомнить (но необязательно), что коэффициент при k^n-1 с точностью до знака совпадает со следом матрицы.

Что до литературы, то в том же Кострикине (второй том) всё преподробнейше расписано.

@[-alex-] · 06.05.2013, 01:18 **[ТС]**

Сообщение от helter

Нужно вспомнить определение характеристического многочлена и попробовать применить его ко всем случаям по очереди. Также можно вспомнить (но необязательно), что коэффициент при k^n-1 с точностью до знака совпадает со следом матрицы.

О, т.е. сумма элементов диагонали будет равна 5, а это у нас первый вариант. Спасибо.

А вот с первыми двумя заданиями я к сожалению так и не понял, как их решить.

@Catstail · 06.05.2013, 11:31

2) умножаем вектор (0 3) на матрицу и получаем вектор (0 -3) -> собств. знач=-1

3) для матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a11 & a12 \\ a21 & a22\end{pmatrix}$
характеристическое уравнение имеет вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}a11-k & a12\\ a21 & a22-k\end{vmatrix}$ = 0

Последнее означает (a11-k)*(a22-k)-a12*a21=0

Подставляй свои матрицы, приводи подобные - найдешь соответствующую.

@[-alex-] · 06.05.2013, 17:11 **[ТС]**

Спасибо всем за помощь. Тему можно закрывать.

@[-alex-] 408 / 3 / 1 Регистрация: 15.04.2010 Сообщений: 40
		1
	Линейные операторы - собственные векторы матрицы и характеристическое уравнение 06.05.2013, 00:13. Показов 4101. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Внезапно родной универ потребовал решения задач, которые теоретически заданы и не были. Литература почитана по возможности, но тем не менее. Вектор Х=(²_-2) является собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ=2. Тогда произведение А•Х равно: 1)(⁰_-4) 2)(⁴_-4) - этот вариант кажется мне логичным, но я не особо понял, при АХ = λEX равнозначно ли оно AX = λX 3)(⁴₀) 4)(¹_-1) Вектор Х=(⁰₃) является собственным вектором матрицы A=(²₄⁰_-1) Тогда соответствующее собственное значение равно: а) 2; б) 1; в) 0; г) -1. Задано характеристическое уравнение k²-5k-1=0 матрицы. Тогда матрица может иметь вид: 1)(¹₁⁵₄) 2)(¹_-5^-1₁) 3)(²₃¹₅) 4)(¹₅^-1_-1) Буду рад любой помощи. 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	06.05.2013, 00:45	2
	Сообщение от [-alex- ;4514549]АХ = λEX равнозначно ли оно AX = λX Во-первых, откуда единичная. Во-вторых, даже раз у вас она откуда-то взялась, вы, конечно, знаете, что при умножении единичной матрицы на любую матрицу А (что справа, что слева) получается А. Сообщение от [-alex- ;4514549]Вектор Х=(03) является собственным вектором матрицы A=(240-1) Тогда соответствующее собственное значение равно: Нужно вспомнить определение собственного вектора и попробовать применить его ко всем случаям по очереди. Сообщение от [-alex- ;4514549]Задано характеристическое уравнение k2-5k-1=0 матрицы. Тогда матрица может иметь вид: Нужно вспомнить определение характеристического многочлена и попробовать применить его ко всем случаям по очереди. Также можно вспомнить (но необязательно), что коэффициент при k^n-1 с точностью до знака совпадает со следом матрицы. Что до литературы, то в том же Кострикине (второй том) всё преподробнейше расписано. 1

@[-alex-] 408 / 3 / 1 Регистрация: 15.04.2010 Сообщений: 40
	06.05.2013, 01:18 [ТС]	3
	Сообщение от helter Нужно вспомнить определение характеристического многочлена и попробовать применить его ко всем случаям по очереди. Также можно вспомнить (но необязательно), что коэффициент при k^n-1 с точностью до знака совпадает со следом матрицы. О, т.е. сумма элементов диагонали будет равна 5, а это у нас первый вариант. Спасибо. А вот с первыми двумя заданиями я к сожалению так и не понял, как их решить. 0

@Catstail Модератор 37317 / 20750 / 4273 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,146 Записей в блоге: 14
	06.05.2013, 11:31	4
	2) умножаем вектор (0 3) на матрицу и получаем вектор (0 -3) -> собств. знач=-1 3) для матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a11 & a12 \\ a21 & a22\end{pmatrix}$ характеристическое уравнение имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}a11-k & a12\\ a21 & a22-k\end{vmatrix}$ = 0 Последнее означает (a11-k)(a22-k)-a12a21=0 Подставляй свои матрицы, приводи подобные - найдешь соответствующую. 1

@[-alex-] 408 / 3 / 1 Регистрация: 15.04.2010 Сообщений: 40
	06.05.2013, 17:11 [ТС]	5
	Спасибо всем за помощь. Тему можно закрывать. 0