Обратная матрица

@iama · Регистрация: 30.07.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите найти обратную матрицу матрицы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & 0 & ... & 1\\ ... & ... & ... & ...\\ 1 & 1 & ... & 0 \end{pmatrix}$
Теорию знаю, но не могу придумать идею решения. Подскажите, если несложно.

@golatin · 27.12.2012, 12:30

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 1& 1 & ... & 1\\ 1 & 0 & 1 & ... & 1\\ 1 & 1 & 0 & ... & 1\\ ... & ... &... & ...&... \\ 1 & 1 & 1 & ...& 0\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\times \begin{pmatrix}-(n-2) & 1& 1 & ... & 1\\ 1 & -1 & 0 & ... & 0\\ 1 & 0 & -1 & ... & 0\\ ... & ... &... & ...&... \\ 1 & 0 & 0 & ...& -1\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\begin{pmatrix}1 & 0& 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & ... & 0\\ ... & ... &... & ...&... \\ 0 & 0 & 0 & ...& 1\end{pmatrix}$

@iama · 27.12.2012, 12:56 **[ТС]**

golatin, это-то хорошо, а доказывать вы это умеете?

@Igor · 27.12.2012, 13:38

iama, думаю, через рекуррентность стоит попробовать.

Добавлено через 18 минут
iama, определитель приводится к треугольному виду последовательным вычитанием первой строки из остальных строк.Таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{D}_{n}={(-1)}^{n-1},\ n\in N.$

@golatin · 27.12.2012, 15:34

golatin, это-то хорошо, а доказывать вы это умеете?

Не понял, что доказывать?
Обратная матрица — такая матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}^{-1}$ , при умножении на которую, исходная матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ даёт в результате единичную матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E$
Эту матрицу я и привел. Перемножьте обе матрицы - получите единичную.

@Igor · 27.12.2012, 16:25

golatin, Вы макроуровень использовали? Мне тоже интересно, как Вы пришли к обратной матрице.

@golatin · 27.12.2012, 21:56

Решаем "в лоб", точнее, по определению "обратная матрица"(как правило, это не срабатывает, но здесь "очень хорошая" матрица):

Обратная матрица — такая матрица , при умножении на которую, исходная матрица даёт в результате единичную матрицу

Перемножим две матрицы.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 1& 1& ... & 1\\ 1& 0& 1&... &1 \\ 1& 1 & 0 & ... & 1\\ ...& ... & ...& ... &... \\ 1& 1& 1 & ... & 0\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\times \begin{pmatrix}{a}_{11} & {a}_{12}& {a}_{13}& ... & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}&... &{a}_{2n} \\ {a}_{31}& {a}_{32} & {a}_{33} & ... & {a}_{3n}\\ ...& ... & ...& ... &... \\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3} & ... & {a}_{nn}\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\begin{pmatrix}1 & 0& 0& ... & 0\\ 0& 1& 0&... &0 \\ 0& 0 & 1 & ... & 0\\ ...& ... & ...& ... &... \\ 0& 0& 0 & ... & 1\end{pmatrix}$
Найдем первый столбец(к примеру), рассмотрим систему:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}}{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=1\\ {a}_{11}+0*{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=0\\{a}_{11}+{a}_{21}+0*{a}_{31}+...+{a}_{n1}=0\\...\\{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+0*{a_{n1}=0\\\end{matrix}\right.$
решение данной системы очевидно(ну, если не очевидно, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=1,\Rightarrow {a}_{21}+({a}_{11}+{a}_{31}+...+{a}_{n1})=1,\Rightarrow {a}_{21}+0=1,\Rightarrow{a}_{21}=1$ и т.д.)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{21}={a}_{31}={a}_{41}=...={a}_{n1}=1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{11}+1+1+...+1=1,\Rightarrow {a}_{11}+(n-1)=1,\Rightarrow {a}_{11}=-(n+2)$
Для остальных столбцов аналогично...

Не по теме:

Определитель здесь не нужен, хотя результат будет тот же

@iama 1360 / 988 / 119 Регистрация: 30.07.2010 Сообщений: 5,297
		1
	Обратная матрица 26.12.2012, 19:50. Показов 928. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Помогите найти обратную матрицу матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 & ... & 1\\ <br /> 1 & 0 & ... & 1\\ <br /> ... & ... & ... & ...\\ <br /> 1 & 1 & ... & 0<br /> \end{pmatrix}$ Теорию знаю, но не могу придумать идею решения. Подскажите, если несложно. 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	27.12.2012, 12:30	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 1& 1 & ... & 1\\ 1 & 0 & 1 & ... & 1\\ 1 & 1 & 0 & ... & 1\\ ... & ... &... & ...&... \\ 1 & 1 & 1 & ...& 0\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\times \begin{pmatrix}-(n-2) & 1& 1 & ... & 1\\ 1 & -1 & 0 & ... & 0\\ 1 & 0 & -1 & ... & 0\\ ... & ... &... & ...&... \\ 1 & 0 & 0 & ...& -1\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\begin{pmatrix}1 & 0& 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & ... & 0\\ ... & ... &... & ...&... \\ 0 & 0 & 0 & ...& 1\end{pmatrix}$ 0

@iama 1360 / 988 / 119 Регистрация: 30.07.2010 Сообщений: 5,297
	27.12.2012, 12:56 [ТС]	3
	golatin, это-то хорошо, а доказывать вы это умеете? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	27.12.2012, 13:38	4
	iama, думаю, через рекуррентность стоит попробовать. Добавлено через 18 минут iama, определитель приводится к треугольному виду последовательным вычитанием первой строки из остальных строк.Таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{D}_{n}={(-1)}^{n-1},\ n\in N.$ 1

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	27.12.2012, 15:34	5
	golatin, это-то хорошо, а доказывать вы это умеете? Не понял, что доказывать? Обратная матрица — такая матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}^{-1}$ , при умножении на которую, исходная матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ даёт в результате единичную матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E$ Эту матрицу я и привел. Перемножьте обе матрицы - получите единичную. 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	27.12.2012, 16:25	6
	golatin, Вы макроуровень использовали? Мне тоже интересно, как Вы пришли к обратной матрице. 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	27.12.2012, 21:56	7
	Решаем "в лоб", точнее, по определению "обратная матрица"(как правило, это не срабатывает, но здесь "очень хорошая" матрица): Обратная матрица — такая матрица , при умножении на которую, исходная матрица даёт в результате единичную матрицу Перемножим две матрицы. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 1& 1& ... & 1\\ 1& 0& 1&... &1 \\ 1& 1 & 0 & ... & 1\\ ...& ... & ...& ... &... \\ 1& 1& 1 & ... & 0\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\times \begin{pmatrix}{a}_{11} & {a}_{12}& {a}_{13}& ... & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}&... &{a}_{2n} \\ {a}_{31}& {a}_{32} & {a}_{33} & ... & {a}_{3n}\\ ...& ... & ...& ... &... \\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3} & ... & {a}_{nn}\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\begin{pmatrix}1 & 0& 0& ... & 0\\ 0& 1& 0&... &0 \\ 0& 0 & 1 & ... & 0\\ ...& ... & ...& ... &... \\ 0& 0& 0 & ... & 1\end{pmatrix}$ Найдем первый столбец(к примеру), рассмотрим систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}}{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=1\\ {a}_{11}+0{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=0\\{a}_{11}+{a}_{21}+0{a}_{31}+...+{a}_{n1}=0\\...\\{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+0{a_{n1}=0\\\end{matrix}\right.$ решение данной системы очевидно(ну, если не очевидно, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{11}+{a}_{21}+{a}_{31}+...+{a}_{n1}=1,\Rightarrow {a}_{21}+({a}_{11}+{a}_{31}+...+{a}_{n1})=1,\Rightarrow {a}_{21}+0=1,\Rightarrow{a}_{21}=1$ и т.д.) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{21}={a}_{31}={a}_{41}=...={a}_{n1}=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{11}+1+1+...+1=1,\Rightarrow {a}_{11}+(n-1)=1,\Rightarrow {a}_{11}=-(n+2)$ Для остальных столбцов аналогично... Не по теме:* Определитель здесь не нужен, хотя результат будет тот же 2