Доказать, что выражение кратно шести

@yana123456789 · Регистрация: 21.09.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

докажите что n(n²+6n+5) делится на 6 при любом натуральном n

@Thinker · 27.09.2012, 21:00

получаем a(n) = n(n+1)(n+5).
Любое число n можно представить в виде n = 6k + r, 0 <= r < 6.
При этом вместо n в число a(n) достаточно подставлять r. Остается рассмотреть случаи
r = 0: 0 делится на 6
r = 1: 1*2*6 делится на 6
r = 2: 2*3*7 делится
r = 3: 3*4*8 делится
r = 4: 4*5*9 делится
r = 5: 5*6*10 делится

Можно и так. Так как 2 и 3 взаимно просты, то сравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n+1)(n+5) \equiv 0 (6)$
эквивалентно системе сравнений
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{ \begin{matrix} n(n+1)^2 \equiv 0 (2)\\ n(n+1)(n+2) \equiv 0 (3) \end{matrix} \right. $
При этом очевидно, что n(n+1) делится на 2 и
n(n+1)(n+2) делится на 3, поэтому система сравнений справедлива для любого целого n

@Том Ардер · 27.09.2012, 21:20

Метод математической индукции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}=n(n^2+6n+5)$

1. При n = 1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1}=12$

2. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}$ делится на 6.
Поскольку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n+1}={a}_{n} + 3(n+1)(n+4)$ , и при любом n - чётном или нечётном - второе слагаемое справа содержит чётный множитель, т.е. делится на 6, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n+1}$ делится на 6.

@splen · 28.09.2012, 00:52

n(n²+6n+5)=(n-1)n(n+1)+6n(n+1) - делится на 6, т.к. среди трёх последовательных целых чисел n-1, n и n+1 хотя бы одно делится на 2 и хотя бы одно - на 3.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
BASH scripting - the best cases [PurpleSchool] jigi33 08.04.2025 Занятия BASH в PurpleSchool - отличные примеры для внедрения в практику (see screenshots and file names)	Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г.) Programma_Boinc 07.04.2025 Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г. ) В рамках наших текущих исследований мы продолжаем изучать гены, которые имеют наибольшую вероятность развития рака легких, выявленные в рамках. . .	Рекурсивные типы в Python py-thonny 07.04.2025 Рекурсивные типы - это типы данных, которые определяются через самих себя или в сочетании с другими типами, которые в свою очередь ссылаются на исходный тип. В мире программирования такие структуры. . .	C++26: Объединение и конкатенация последовательностей и диапазонов в std::ranges NullReferenced 07.04.2025 Работа с последовательностями данных – одна из фундаментальных задач, с которой сталкивается каждый разработчик. C++ прошел длинный путь в эволюции средств для манипуляции коллекциями – от. . .	Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .
PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .	Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .	Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .

@yana123456789 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 38

	Доказать, что выражение кратно шести 27.09.2012, 20:31. Показов 16819. Ответов 3 Метки нет (Все метки) докажите что n(n²+6n+5) делится на 6 при любом натуральном n 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	27.09.2012, 21:00
	получаем a(n) = n(n+1)(n+5). Любое число n можно представить в виде n = 6k + r, 0 <= r < 6. При этом вместо n в число a(n) достаточно подставлять r. Остается рассмотреть случаи r = 0: 0 делится на 6 r = 1: 126 делится на 6 r = 2: 237 делится r = 3: 348 делится r = 4: 459 делится r = 5: 5610 делится Можно и так. Так как 2 и 3 взаимно просты, то сравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n+1)(n+5) \equiv 0 (6)$ эквивалентно системе сравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{<br /> \begin{matrix}<br /> n(n+1)^2 \equiv 0 (2)\\ <br /> n(n+1)(n+2) \equiv 0 (3)<br /> \end{matrix}<br /> \right.<br />$ При этом очевидно, что n(n+1) делится на 2 и n(n+1)(n+2) делится на 3, поэтому система сравнений справедлива для любого целого n 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	27.09.2012, 21:20
	Метод математической индукции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}=n(n^2+6n+5)$ 1. При n = 1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1}=12$ 2. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}$ делится на 6. Поскольку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n+1}={a}_{n} + 3(n+1)(n+4)$ , и при любом n - чётном или нечётном - второе слагаемое справа содержит чётный множитель, т.е. делится на 6, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n+1}$ делится на 6. 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	28.09.2012, 00:52
	Сообщение было отмечено как решение Решение n(n²+6n+5)=(n-1)n(n+1)+6n(n+1) - делится на 6, т.к. среди трёх последовательных целых чисел n-1, n и n+1 хотя бы одно делится на 2 и хотя бы одно - на 3. 3

Доказать, что выражение кратно шести

Решение