Свойства степеней с рациональным показателем

@Лиана111 · Регистрация: 15.09.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Запуталась... Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? Разве х^(1\3) не равно корню третьей степени из х? Почему?

Добавлено через 3 часа 15 минут
Люди, у кого есть соображения на этот счет? Объясните, пожалуйста! Я никак не соглашаюсь, что не может быть отрицательного числа при нечетности

vetvet · 09.10.2011, 19:54

Сообщение от Лиана111

Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом?

откуда вообще такие соображения?

@Лиана111 · 09.10.2011, 20:20 **[ТС]**

В том-то и дело, что это не мои соображения... Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно0. А я считаю, что если в знаменателе степени нечетное число, то возводимое число может быть и отрицательным. И соответственно строю график y= x^(2\3) не так, как учебники дают. У них - х больше или = 0, а у меня и отриц числа. Что все же является правдой? Считаю, что права я)) I am a rebel)))

@Thinker · 09.10.2011, 20:23

Сообщение от Лиана111

Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом?

А это как тогда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$

@Thinker · 09.10.2011, 20:27

Сообщение от Лиана111

Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно 0

Странные у вас учебники. Вообще, например
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули

@Лиана111 · 09.10.2011, 21:04 **[ТС]**

Сообщение от Thinker

А это как тогда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$

Ну, я такого не говорю... Я имею ввиду - напр x^(11|3) - x ведь может быть отриц числом?

Добавлено через 2 минуты
Ведь когда в знаменателе показателя степени нечетное число, то основание может быть отриц?

@Jaguar · 09.10.2011, 21:07

x ведь может быть отриц числом?

Конечно может.

Добавлено через 1 минуту
Какие-то у вас странные вопросы.

@Лиана111 · 09.10.2011, 21:12 **[ТС]**

Сообщение от Thinker

Странные у вас учебники. Вообще, например
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули

Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное?

Добавлено через 1 минуту
Шок! Учебники врут десятиклассникам! Сейчас фото графиков функций выложу.

@Thinker · 09.10.2011, 21:26

Сообщение от Лиана111

Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное?

Если дело в комплексном поле происходит, то может быть. Если же в поле действительных чисел и дробь несократима с четным знаменателем, то не может, с нечетным же знаменателем - может

vetvet · 09.10.2011, 23:47

http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29

возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть.

Добавлено через 1 час 48 минут
но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь:
http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29

@Eugeniy · 10.10.2011, 02:45

Мда, ребята, чувствуется, что Вы давно в школе учились

Я конечно тоже не вчера закончил, но не брезгую вспоминать некоторые моменты,
ведь математик не пытается сразу из пушки палить по воробьям, а начинает от меньшего калибра переходить к большему.
Начнем сначала.
Thinker, к чему Вы вспомнили про комплексные числа? Я узнал об их существовании только в 11-классе,
а понятие поле я осознал только на первом курсе. Зачем пугать людей?
Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли.

Короче, показательная функция определялась в школе исключительно множестве не отрицательных вещественных чисел.
Вопрос почему? Нет это не чистая формальность и не обман школьников, просто если рассматривать действие этих функций
на множестве отрицательных чисел, без введения комплексных чисел, начинаются казусы.

Например. Вот Вы вспомнили про корень кубический.
Мы хотим работать с показателями степеней, как с обычными числами, стало быть для них справедливы обычные операции.
В таком случае получится такая вещь

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$

Это равенство очевидно справедливо только в поле по модулю два. Так что очевиден казус. Вопрос в чем фишка. А в том, что не всегда можно переставлять местами операции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a)}^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{({a}^{p})}={\left( \sqrt[q]{a}\right)}^{p}$

Тогда вопрос какой операции отдавать предпочтения. Короче начинается охинея.
А если ещё сюда припахать граничный переход для введения иррационального показателя степени, тогда вообще могила.
Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают.
Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов.

Так что такое постулирование мы сделали, чтобы не возится с модулем и значительно облегчить себе жизнь и сберечь нервы.
И запомните

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Простите, если чуточку был резок

vetvet · 10.10.2011, 03:00

Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции.

@Лиана111 · 10.10.2011, 07:41 **[ТС]**

Сообщение от vetvet

http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29

возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть.

Добавлено через 1 час 48 минут
но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь:
http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29

Ну почему одна ветвь? А при отриц x?

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Eugeniy

Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают.
Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов.

)

Спасибо, поняла!

@Jaguar · 10.10.2011, 14:54

И запомните
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Вы что!? Как не равно?

vetvet · 10.10.2011, 15:35

Jaguar, в общем случае не равно.

@Jaguar · 10.10.2011, 15:41

Сообщение от vetvet

в общем случае не равно

в смысле?

vetvet · 10.10.2011, 15:47

Jaguar, в смысле, если не оговорен знак x.

@Eugeniy · 10.10.2011, 16:11

Сообщение от Jaguar

Вы что!? Как не равно?

Jaguar, смотрите начертанное мною выше

Сообщение от vetvet

Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции.

Ссори, не большая оговорка - это степенная функция

Байт · 10.10.2011, 17:04

Сообщение от Jaguar

Вы что!? Как не равно?

Это просто разные функции.
Функция задается 1.Областью определения. 2.Значениями. Если хоть что-то не совпадает - функции разные.
Я могу выдумать например, такую функцию: Y = Bait(x) = x для x>0. И она не совпадает с Y = x

@Thinker · 10.10.2011, 21:03

Сообщение от Eugeniy

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Ну, это ТОЛЬКО с оговоркой, что x - произвольное значение

Ладно, есть здравое зерно в Ваших рассуждениях, но только для действительных чисел. В комплексном поле все вроде гладко.

Сообщение от Eugeniy

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$

Вы сознательно исказили равенство, прекрасно зная, что с комплексными числами такой фокус не пройдет, так как корень n-ой степени имеет n комплексных корней.
Но, спорить не хочу, в этой теме и правда тонкие моменты.

Сообщение от Eugeniy

Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли

Почему бы тогда не восьмимерную алгебру Кэли, разве что она не ассоциативна и не коммутативна, хоть и с делением

Сообщение от Eugeniy

а понятие поле я осознал только на первом курсе.

А понятие множества Вы уже в школе знали (с учетом всей противоречивости)

Или категории и функторы Вы уже в школе проходили, а также классы, разбиения и т.д.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
BASH scripting - the best cases [PurpleSchool] jigi33 08.04.2025 Занятия BASH в PurpleSchool - отличные примеры для внедрения в практику (see screenshots and file names)	Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г.) Programma_Boinc 07.04.2025 Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г. ) В рамках наших текущих исследований мы продолжаем изучать гены, которые имеют наибольшую вероятность развития рака легких, выявленные в рамках. . .	Рекурсивные типы в Python py-thonny 07.04.2025 Рекурсивные типы - это типы данных, которые определяются через самих себя или в сочетании с другими типами, которые в свою очередь ссылаются на исходный тип. В мире программирования такие структуры. . .	C++26: Объединение и конкатенация последовательностей и диапазонов в std::ranges NullReferenced 07.04.2025 Работа с последовательностями данных – одна из фундаментальных задач, с которой сталкивается каждый разработчик. C++ прошел длинный путь в эволюции средств для манипуляции коллекциями – от. . .	Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .
PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .	Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .	Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .

Свойства степеней с рациональным показателем

Решение

Решение

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35

	Свойства степеней с рациональным показателем 09.10.2011, 19:39. Показов 9472. Ответов 24 Метки нет (Все метки) Запуталась... Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? Разве х^(1\3) не равно корню третьей степени из х? Почему? Добавлено через 3 часа 15 минут Люди, у кого есть соображения на этот счет? Объясните, пожалуйста! Я никак не соглашаюсь, что не может быть отрицательного числа при нечетности 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	09.10.2011, 19:54
	Сообщение от Лиана111 Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? откуда вообще такие соображения? 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 20:20 [ТС]
	В том-то и дело, что это не мои соображения... Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно0. А я считаю, что если в знаменателе степени нечетное число, то возводимое число может быть и отрицательным. И соответственно строю график y= x^(2\3) не так, как учебники дают. У них - х больше или = 0, а у меня и отриц числа. Что все же является правдой? Считаю, что права я)) I am a rebel))) 1

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 20:23
	Сообщение от Лиана111 Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? А это как тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$ 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 20:27
	Сообщение от Лиана111 Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно 0 Странные у вас учебники. Вообще, например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 21:04 [ТС]
	Сообщение от Thinker А это как тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$ Ну, я такого не говорю... Я имею ввиду - напр x^(11\|3) - x ведь может быть отриц числом? Добавлено через 2 минуты Ведь когда в знаменателе показателя степени нечетное число, то основание может быть отриц? 0

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	09.10.2011, 21:07
	x ведь может быть отриц числом? Конечно может. Добавлено через 1 минуту Какие-то у вас странные вопросы. 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 21:12 [ТС]
	Сообщение от Thinker Странные у вас учебники. Вообще, например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное? Добавлено через 1 минуту Шок! Учебники врут десятиклассникам! Сейчас фото графиков функций выложу. 1

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 21:26
	Сообщение от Лиана111 Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное? Если дело в комплексном поле происходит, то может быть. Если же в поле действительных чисел и дробь несократима с четным знаменателем, то не может, с нечетным же знаменателем - может 2

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	09.10.2011, 23:47
	http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29 возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть. Добавлено через 1 час 48 минут но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь: http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29 2

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	10.10.2011, 02:45
	Сообщение было отмечено как решение Решение Мда, ребята, чувствуется, что Вы давно в школе учились Я конечно тоже не вчера закончил, но не брезгую вспоминать некоторые моменты, ведь математик не пытается сразу из пушки палить по воробьям, а начинает от меньшего калибра переходить к большему. Начнем сначала. Thinker, к чему Вы вспомнили про комплексные числа? Я узнал об их существовании только в 11-классе, а понятие поле я осознал только на первом курсе. Зачем пугать людей? Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли. Короче, показательная функция определялась в школе исключительно множестве не отрицательных вещественных чисел. Вопрос почему? Нет это не чистая формальность и не обман школьников, просто если рассматривать действие этих функций на множестве отрицательных чисел, без введения комплексных чисел, начинаются казусы. Например. Вот Вы вспомнили про корень кубический. Мы хотим работать с показателями степеней, как с обычными числами, стало быть для них справедливы обычные операции. В таком случае получится такая вещь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$ Это равенство очевидно справедливо только в поле по модулю два. Так что очевиден казус. Вопрос в чем фишка. А в том, что не всегда можно переставлять местами операции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a)}^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{({a}^{p})}={\left( \sqrt[q]{a}\right)}^{p}$ Тогда вопрос какой операции отдавать предпочтения. Короче начинается охинея. А если ещё сюда припахать граничный переход для введения иррационального показателя степени, тогда вообще могила. Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают. Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов. Так что такое постулирование мы сделали, чтобы не возится с модулем и значительно облегчить себе жизнь и сберечь нервы. И запомните $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Простите, если чуточку был резок 9

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	10.10.2011, 03:00
	Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции. 0

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	10.10.2011, 07:41 [ТС]
	Сообщение от vetvet http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29 возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть. Добавлено через 1 час 48 минут но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь: http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29 Ну почему одна ветвь? А при отриц x? Добавлено через 6 минут Сообщение от Eugeniy Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают. Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов. ) Спасибо, поняла! 1

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	10.10.2011, 14:54
	И запомните $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Вы что!? Как не равно? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	10.10.2011, 15:35
	Jaguar, в общем случае не равно. 1

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	10.10.2011, 15:41
	Сообщение от vetvet в общем случае не равно в смысле? 1

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	10.10.2011, 15:47
	Jaguar, в смысле, если не оговорен знак x. 2

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	10.10.2011, 16:11
	Сообщение от Jaguar Вы что!? Как не равно? Jaguar, смотрите начертанное мною выше Сообщение от vetvet Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции. Ссори, не большая оговорка - это степенная функция 2

Байт Диссидент 27710 / 17328 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2011, 17:04
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сообщение от Jaguar Вы что!? Как не равно? Это просто разные функции. Функция задается 1.Областью определения. 2.Значениями. Если хоть что-то не совпадает - функции разные. Я могу выдумать например, такую функцию: Y = Bait(x) = x для x>0. И она не совпадает с Y = x 3

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	10.10.2011, 21:03
	Сообщение от Eugeniy $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Ну, это ТОЛЬКО с оговоркой, что x - произвольное значение Ладно, есть здравое зерно в Ваших рассуждениях, но только для действительных чисел. В комплексном поле все вроде гладко. Сообщение от Eugeniy $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$ Вы сознательно исказили равенство, прекрасно зная, что с комплексными числами такой фокус не пройдет, так как корень n-ой степени имеет n комплексных корней. Но, спорить не хочу, в этой теме и правда тонкие моменты. Сообщение от Eugeniy Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли Почему бы тогда не восьмимерную алгебру Кэли, разве что она не ассоциативна и не коммутативна, хоть и с делением Сообщение от Eugeniy а понятие поле я осознал только на первом курсе. А понятие множества Вы уже в школе знали (с учетом всей противоречивости) Или категории и функторы Вы уже в школе проходили, а также классы, разбиения и т.д. 2