Свойства степеней с рациональным показателем

@Лиана111 · Регистрация: 15.09.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Запуталась... Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? Разве х^(1\3) не равно корню третьей степени из х? Почему?

Добавлено через 3 часа 15 минут
Люди, у кого есть соображения на этот счет? Объясните, пожалуйста! Я никак не соглашаюсь, что не может быть отрицательного числа при нечетности

vetvet · 09.10.2011, 19:54

Сообщение от Лиана111

Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом?

откуда вообще такие соображения?

@Лиана111 · 09.10.2011, 20:20 **[ТС]**

В том-то и дело, что это не мои соображения... Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно0. А я считаю, что если в знаменателе степени нечетное число, то возводимое число может быть и отрицательным. И соответственно строю график y= x^(2\3) не так, как учебники дают. У них - х больше или = 0, а у меня и отриц числа. Что все же является правдой? Считаю, что права я)) I am a rebel)))

@Thinker · 09.10.2011, 20:23

Сообщение от Лиана111

Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом?

А это как тогда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$

@Thinker · 09.10.2011, 20:27

Сообщение от Лиана111

Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно 0

Странные у вас учебники. Вообще, например
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули

@Лиана111 · 09.10.2011, 21:04 **[ТС]**

Сообщение от Thinker

А это как тогда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$

Ну, я такого не говорю... Я имею ввиду - напр x^(11|3) - x ведь может быть отриц числом?

Добавлено через 2 минуты
Ведь когда в знаменателе показателя степени нечетное число, то основание может быть отриц?

@Jaguar · 09.10.2011, 21:07

x ведь может быть отриц числом?

Конечно может.

Добавлено через 1 минуту
Какие-то у вас странные вопросы.

@Лиана111 · 09.10.2011, 21:12 **[ТС]**

Сообщение от Thinker

Странные у вас учебники. Вообще, например
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули

Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное?

Добавлено через 1 минуту
Шок! Учебники врут десятиклассникам! Сейчас фото графиков функций выложу.

@Thinker · 09.10.2011, 21:26

Сообщение от Лиана111

Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное?

Если дело в комплексном поле происходит, то может быть. Если же в поле действительных чисел и дробь несократима с четным знаменателем, то не может, с нечетным же знаменателем - может

vetvet · 09.10.2011, 23:47

http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29

возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть.

Добавлено через 1 час 48 минут
но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь:
http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29

@Eugeniy · 10.10.2011, 02:45

Мда, ребята, чувствуется, что Вы давно в школе учились

Я конечно тоже не вчера закончил, но не брезгую вспоминать некоторые моменты,
ведь математик не пытается сразу из пушки палить по воробьям, а начинает от меньшего калибра переходить к большему.
Начнем сначала.
Thinker, к чему Вы вспомнили про комплексные числа? Я узнал об их существовании только в 11-классе,
а понятие поле я осознал только на первом курсе. Зачем пугать людей?
Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли.

Короче, показательная функция определялась в школе исключительно множестве не отрицательных вещественных чисел.
Вопрос почему? Нет это не чистая формальность и не обман школьников, просто если рассматривать действие этих функций
на множестве отрицательных чисел, без введения комплексных чисел, начинаются казусы.

Например. Вот Вы вспомнили про корень кубический.
Мы хотим работать с показателями степеней, как с обычными числами, стало быть для них справедливы обычные операции.
В таком случае получится такая вещь

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$

Это равенство очевидно справедливо только в поле по модулю два. Так что очевиден казус. Вопрос в чем фишка. А в том, что не всегда можно переставлять местами операции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a)}^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{({a}^{p})}={\left( \sqrt[q]{a}\right)}^{p}$

Тогда вопрос какой операции отдавать предпочтения. Короче начинается охинея.
А если ещё сюда припахать граничный переход для введения иррационального показателя степени, тогда вообще могила.
Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают.
Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов.

Так что такое постулирование мы сделали, чтобы не возится с модулем и значительно облегчить себе жизнь и сберечь нервы.
И запомните

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Простите, если чуточку был резок

vetvet · 10.10.2011, 03:00

Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции.

@Лиана111 · 10.10.2011, 07:41 **[ТС]**

Сообщение от vetvet

http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29

возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть.

Добавлено через 1 час 48 минут
но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь:
http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29

Ну почему одна ветвь? А при отриц x?

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Eugeniy

Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают.
Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов.

)

Спасибо, поняла!

@Jaguar · 10.10.2011, 14:54

И запомните
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Вы что!? Как не равно?

vetvet · 10.10.2011, 15:35

Jaguar, в общем случае не равно.

@Jaguar · 10.10.2011, 15:41

Сообщение от vetvet

в общем случае не равно

в смысле?

vetvet · 10.10.2011, 15:47

Jaguar, в смысле, если не оговорен знак x.

@Eugeniy · 10.10.2011, 16:11

Сообщение от Jaguar

Вы что!? Как не равно?

Jaguar, смотрите начертанное мною выше

Сообщение от vetvet

Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции.

Ссори, не большая оговорка - это степенная функция

Байт · 10.10.2011, 17:04

Сообщение от Jaguar

Вы что!? Как не равно?

Это просто разные функции.
Функция задается 1.Областью определения. 2.Значениями. Если хоть что-то не совпадает - функции разные.
Я могу выдумать например, такую функцию: Y = Bait(x) = x для x>0. И она не совпадает с Y = x

@Thinker · 10.10.2011, 21:03

Сообщение от Eugeniy

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$

Ну, это ТОЛЬКО с оговоркой, что x - произвольное значение

Ладно, есть здравое зерно в Ваших рассуждениях, но только для действительных чисел. В комплексном поле все вроде гладко.

Сообщение от Eugeniy

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$

Вы сознательно исказили равенство, прекрасно зная, что с комплексными числами такой фокус не пройдет, так как корень n-ой степени имеет n комплексных корней.
Но, спорить не хочу, в этой теме и правда тонкие моменты.

Сообщение от Eugeniy

Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли

Почему бы тогда не восьмимерную алгебру Кэли, разве что она не ассоциативна и не коммутативна, хоть и с делением

Сообщение от Eugeniy

а понятие поле я осознал только на первом курсе.

А понятие множества Вы уже в школе знали (с учетом всей противоречивости)

Или категории и функторы Вы уже в школе проходили, а также классы, разбиения и т.д.

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	10.10.2011, 07:41 [ТС]	13
	Сообщение от vetvet http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29 возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть. Добавлено через 1 час 48 минут но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь: http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29 Ну почему одна ветвь? А при отриц x? Добавлено через 6 минут Сообщение от Eugeniy Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают. Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов. ) Спасибо, поняла! 1

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	10.10.2011, 16:11	18
	Сообщение от Jaguar Вы что!? Как не равно? Jaguar, смотрите начертанное мною выше Сообщение от vetvet Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции. Ссори, не большая оговорка - это степенная функция 2

Новые блоги и статьи
Это работает. Скорость асинхронной логики велика. Вопрос видимо останется в стабильности. Плата - огонь! Hrethgir 13.01.2025 По прошлому проекту в Logisim Evolution https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 223907/ blog8781. html прилагаю файл архива проекта Gowin Eda и снимок. Восьмибитный счётчик из сумматора+ генератор сигнала. . .	UserScript для подсветки кнопок языков программирования в зависимости от текущего раздела volvo 13.01.2025 В результате работы этого скрипта подсвечиваются нужные кнопки не только в форме быстрого ответа, но и при редактировании сообщения: / / ==UserScript== / / @name CF_DefaultLangSelect / / . . .	Введение в модели и алгоритмы машинного обучения InfoMaster 12.01.2025 Машинное обучение представляет собой одну из наиболее динамично развивающихся областей искусственного интеллекта, которая фокусируется на разработке алгоритмов и методов, позволяющих компьютерам. . .	Как на Python создать нейросеть для решения задач InfoMaster 12.01.2025 В контексте стремительного развития современных технологий особое внимание уделяется таким инструментам, как нейросети. Эти структуры, вдохновленные биологическими нейронными сетями, используются для. . .	Как создать нейросеть для генерации картинок на Python InfoMaster 12.01.2025 Генерация изображений с помощью искусственных нейронных сетей стала одним из наиболее захватывающих направлений в области компьютерного зрения и машинного обучения. В этой статье мы рассмотрим. . .	Создание нейросети для генерации текста на Python InfoMaster 12.01.2025 Нейросети, или искусственные нейронные сети, представляют собой модели машинного обучения, вдохновленные работой человеческого мозга. Они состоят из множества взаимосвязанных узлов, или "нейронов",. . .
Как создать нейросеть распознавания изображений на Python InfoMaster 12.01.2025 Введение в распознавание изображений с помощью нейросетей Распознавание изображений с помощью нейронных сетей стало одним из самых впечатляющих достижений в области искусственного интеллекта. Эта. . .	Основы искуственного интеллекта InfoMaster 12.01.2025 Искусственный интеллект (ИИ) представляет собой одну из наиболее динамично развивающихся областей современной науки и технологий. В широком смысле под искусственным интеллектом понимается способность. . .	Python и нейросети InfoMaster 12.01.2025 Искусственные нейронные сети стали неотъемлемой частью современных технологий, революционизировав множество областей - от медицинской диагностики до автономных транспортных средств. Python, благодаря. . .	Python в машинном обучении InfoMaster 12.01.2025 Python стал неотъемлемой частью современного машинного обучения, завоевав позицию ведущего языка программирования в этой области. Его популярность обусловлена несколькими ключевыми факторами, которые. . .	Создание UI на Python с TKinter InfoMaster 12.01.2025 TKinter — это одна из наиболее популярных библиотек для создания графических интерфейсов пользователей (GUI) в языке программирования Python. TKinter входит в стандартную библиотеку Python, что. . .	HTML5 в разработке мобильных приложений InfoMaster 12.01.2025 Введение: Обзор роли HTML5 в мобильной разработке В современном мире мобильных технологий HTML5 стал ключевым инструментом для разработки кроссплатформенных приложений. Эта технология произвела. . .

Свойства степеней с рациональным показателем

Решение

Решение

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,558
	09.10.2011, 19:54	2
	Сообщение от Лиана111 Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? откуда вообще такие соображения? 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 20:20 [ТС]	3
	В том-то и дело, что это не мои соображения... Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно0. А я считаю, что если в знаменателе степени нечетное число, то возводимое число может быть и отрицательным. И соответственно строю график y= x^(2\3) не так, как учебники дают. У них - х больше или = 0, а у меня и отриц числа. Что все же является правдой? Считаю, что права я)) I am a rebel))) 1

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 20:23	4
	Сообщение от Лиана111 Почему некое число с рациональным показателем может быть только положительным числом? А это как тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$ 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 20:27	5
	Сообщение от Лиана111 Учебники утверждают - если степень - дробное число, то число, возводимое в степень, должно быть больше или равно 0 Странные у вас учебники. Вообще, например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 21:04 [ТС]	6
	Сообщение от Thinker А это как тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = -2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt{4} = 2$ Ну, я такого не говорю... Я имею ввиду - напр x^(11\|3) - x ведь может быть отриц числом? Добавлено через 2 минуты Ведь когда в знаменателе показателя степени нечетное число, то основание может быть отриц? 0

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	09.10.2011, 21:07	7
	x ведь может быть отриц числом? Конечно может. Добавлено через 1 минуту Какие-то у вас странные вопросы. 1

@Лиана111 6 / 6 / 0 Регистрация: 15.09.2011 Сообщений: 35
	09.10.2011, 21:12 [ТС]	8
	Сообщение от Thinker Странные у вас учебники. Вообще, например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{\frac{1}{n}}$ имеет ровно n комплексных корней, тут уже никакого сравнения с 0 нет. Наверняка вы это предложения из какого-то контекста выдернули Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное? Добавлено через 1 минуту Шок! Учебники врут десятиклассникам! Сейчас фото графиков функций выложу. 1

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	09.10.2011, 21:26	9
	Сообщение от Лиана111 Скажите прямо - т е могут быть отриц основания, если показатель степени - дробное число, где в знаменателе - нечетное? Если дело в комплексном поле происходит, то может быть. Если же в поле действительных чисел и дробь несократима с четным знаменателем, то не может, с нечетным же знаменателем - может 2

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,558
	09.10.2011, 23:47	10
	http://www.wolframalpha.com/in... 282%2F3%29 возможно в учебнике оговорено про то, что рассматривается только неотрицательная часть. Добавлено через 1 час 48 минут но для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x^{\frac{1}{3}}$ строит одну ветвь: http://www.wolframalpha.com/in... 281%2F3%29 2

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	10.10.2011, 02:45	11
	Сообщение было отмечено как решение Решение Мда, ребята, чувствуется, что Вы давно в школе учились Я конечно тоже не вчера закончил, но не брезгую вспоминать некоторые моменты, ведь математик не пытается сразу из пушки палить по воробьям, а начинает от меньшего калибра переходить к большему. Начнем сначала. Thinker, к чему Вы вспомнили про комплексные числа? Я узнал об их существовании только в 11-классе, а понятие поле я осознал только на первом курсе. Зачем пугать людей? Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли. Короче, показательная функция определялась в школе исключительно множестве не отрицательных вещественных чисел. Вопрос почему? Нет это не чистая формальность и не обман школьников, просто если рассматривать действие этих функций на множестве отрицательных чисел, без введения комплексных чисел, начинаются казусы. Например. Вот Вы вспомнили про корень кубический. Мы хотим работать с показателями степеней, как с обычными числами, стало быть для них справедливы обычные операции. В таком случае получится такая вещь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$ Это равенство очевидно справедливо только в поле по модулю два. Так что очевиден казус. Вопрос в чем фишка. А в том, что не всегда можно переставлять местами операции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a)}^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{({a}^{p})}={\left( \sqrt[q]{a}\right)}^{p}$ Тогда вопрос какой операции отдавать предпочтения. Короче начинается охинея. А если ещё сюда припахать граничный переход для введения иррационального показателя степени, тогда вообще могила. Конечно введение комплексной единицы решило бы здесь много проблем, но поверьте десятиклассники так не думают. Мне кажется это бы добавило бы им ещё больше проблем и нервов. Так что такое постулирование мы сделали, чтобы не возится с модулем и значительно облегчить себе жизнь и сберечь нервы. И запомните $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Простите, если чуточку был резок 9

	10.10.2011, 21:03

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,558
	10.10.2011, 03:00	12
	Eugeniy, я бы так не сформулировала, хотя и были подозрения в сторону показательной функции. 0

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	10.10.2011, 14:54	14
	И запомните $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Вы что!? Как не равно? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,558
	10.10.2011, 15:35	15
	Jaguar, в общем случае не равно. 1

@Jaguar 393 / 279 / 38 Регистрация: 06.08.2010 Сообщений: 833
	10.10.2011, 15:41	16
	Сообщение от vetvet в общем случае не равно в смысле? 1

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,558
	10.10.2011, 15:47	17
	Jaguar, в смысле, если не оговорен знак x. 2

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	10.10.2011, 17:04	19
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сообщение от Jaguar Вы что!? Как не равно? Это просто разные функции. Функция задается 1.Областью определения. 2.Значениями. Если хоть что-то не совпадает - функции разные. Я могу выдумать например, такую функцию: Y = Bait(x) = x для x>0. И она не совпадает с Y = x 3

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	10.10.2011, 21:03	20
	Сообщение от Eugeniy $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{3}}\neq\sqrt[3]{x}$ Ну, это ТОЛЬКО с оговоркой, что x - произвольное значение Ладно, есть здравое зерно в Ваших рассуждениях, но только для действительных чисел. В комплексном поле все вроде гладко. Сообщение от Eugeniy $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1=\sqrt[3]{-1}={(-1)}^{\frac{1}{3}}={(-1)}^{{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{(-1)}^{2}}=1$ Вы сознательно исказили равенство, прекрасно зная, что с комплексными числами такой фокус не пройдет, так как корень n-ой степени имеет n комплексных корней. Но, спорить не хочу, в этой теме и правда тонкие моменты. Сообщение от Eugeniy Вы бы ещё сказали элемент мультипликативной группы К4, он же частный случай кватернионов Гамильтона - Кэли Почему бы тогда не восьмимерную алгебру Кэли, разве что она не ассоциативна и не коммутативна, хоть и с делением Сообщение от Eugeniy а понятие поле я осознал только на первом курсе. А понятие множества Вы уже в школе знали (с учетом всей противоречивости) Или категории и функторы Вы уже в школе проходили, а также классы, разбиения и т.д. 2