О 4 проблеме Ландау

@BAU_MAN · Регистрация: 17.06.2024

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, я тут новичок, хочу задать один вопрос.
Существует ли доказательство/опровержения факта для чисел вида a^2 + 1, а именно, что они не кратны простым вида 4k+3

Комментарий модератора

Правила форума, пункт 4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

@steelcraft · 17.06.2024, 00:45

Давайте возьмем a=1. Попробуйте найти k для этого случая.

@andreyfreelans · 17.06.2024, 11:06

Для чисел вида a^2 + 1 доказано, что они не могут быть кратны простым числам вида 4k+3. Для этого можно использовать теорему о простых числах вида 4k+1, которая утверждает, что любое простое число такого вида может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Если бы число a^2 + 1 было кратно простому числу вида 4k+3, то оно могло бы быть представлено в виде суммы квадратов целых чисел, что противоречит свойству чисел вида a^2 + 1.

@BAU_MAN · 17.06.2024, 12:09 **[ТС]**

Не понял, если честно. Про рождественскую теорему Ферма знаю. Это как раз о том, что любое простое вида 4k+1 представимо в виде суммы
двух квадратов. У нее есть и следствие. А дальнейшие рассуждения не понял. У нас есть составное число a^2 + 1. Мы предполагаем его кратность некоему p=4k+3 и хотим от противного получить отрицательный ответ, но ведь про числа 4k+3 мы ничего в этом плане утверждать не можем. Более того, наше a^2 + 1 и так предствлено в виде суммы двух квадратов. Есть тождество Диофанта, через которое можно даже представить его через сумму двух других квадратов, ну и что это даст, если оно не простое. Из следствия рождественской теоремы Ферма, насколько я знаю, можно максимум утверждать, что наше число если и кратно 4k+3, то оно входит в четной степени.

@mihailm · 17.06.2024, 12:15

BAU_MAN, это несложный факт из начал теории чисел
Типа, когда -1 является квадратичным вычетом по простому числу р

@BAU_MAN · 17.06.2024, 12:27 **[ТС]**

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида
4k + 3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.
Я только такой факт видел. Но это более слабое утверждение, оно не говорит ничего о полном отсутствии.
Следствие как раз из рождественской теоремы Ферма.

@Red white socks · 19.06.2024, 16:52

BAU_MAN, не надо никакой рождественской теоремы. Просто почитайте определение квадратичного вычета/невычета. Оттуда все следует.

Новые блоги и статьи
Что такое CQRS и как это реализовать на C# с MediatR InfoMaster 15.01.2025 Концепция CQRS и её роль в современной разработке В современном мире разработки программного обеспечения архитектурные паттерны играют ключевую роль в создании масштабируемых и поддерживаемых. . .	Как настроить CI/CD с Azure DevOps InfoMaster 15.01.2025 CI/ CD, или непрерывная интеграция и непрерывное развертывание, представляет собой современный подход к разработке программного обеспечения, который позволяет автоматизировать и оптимизировать процесс. . .	Как настроить CI/CD с помощью Jenkins InfoMaster 15.01.2025 Введение в CI/ CD и Jenkins В современной разработке программного обеспечения непрерывная интеграция (CI) и непрерывная доставка (CD) стали неотъемлемыми элементами процесса создания качественных. . .	Как написать микросервис на Go/Golang с Kafka и GitHub CI/CD InfoMaster 14.01.2025 Определение микросервиса, преимущества использования Go/ Golang Микросервис – это архитектурный подход к разработке программного обеспечения, при котором приложение состоит из небольших, независимо. . .	Как написать микросервис с нуля на C# с RabbitMQ, CQRS и CI/CD InfoMaster 14.01.2025 В современном мире разработки программного обеспечения микросервисная архитектура стала стандартом де-факто для создания масштабируемых и гибких приложений. Этот архитектурный подход предполагает. . .	Как создать интернет-магазин на PHP и JavaScript InfoMaster 14.01.2025 В современном мире электронная коммерция стала неотъемлемой частью бизнеса. Создание собственного интернет-магазина открывает широкие возможности для предпринимателей, позволяя достичь большей. . .
Как написать Тетрис на Ассемблере InfoMaster 14.01.2025 Тетрис – одна из самых узнаваемых и популярных компьютерных игр, созданная в 1984 году советским программистом Алексеем Пажитновым. За прошедшие десятилетия она завоевала симпатии миллионы людей по. . .	Как создать игру "Танчики" на Unity3d и C# InfoMaster 14.01.2025 Разработка игр – это увлекательный процесс, сочетающий в себе творчество и технические навыки. В этой статье мы рассмотрим создание классической игры "Танчики" с использованием Unity3D и языка. . .	Организую платный онлайн микро-курс по доработке Android-клиента Telegram _Ivana 14.01.2025 Официальная версия и распространенные форки не полностью устраивают? Сделай свою кастомную версию клиента! 4 занятия по 2 часа (2 недели пн, ср 19:00-21:00 по Москве). Первое вводное занятие. . .	Как создать приложение для фитнеса для iOS/iPhone на Kotlin InfoMaster 14.01.2025 Создание собственного фитнес-приложения — это не только захватывающий, но и полезный процесс, ведь оно может стать вашим верным помощником на пути к здоровому и активному образу жизни. В современных. . .	Как создать приложение магазина для iOS/iPhone на Swift InfoMaster 14.01.2025 Введение в разработку iOS-приложений Разработка приложений для iPhone и других устройств на базе iOS открывает огромные возможности для создания инновационных мобильных решений. В данной статье мы. . .	Это работает. Скорость асинхронной логики велика. Вопрос видимо останется в стабильности. Плата - огонь! Hrethgir 13.01.2025 По прошлому проекту в Logisim Evolution https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 223907/ blog8781. html прилагаю файл архива проекта в Gowin Eda. Восьмибитный счётчик из сумматора+ генератор сигнала. . .

@steelcraft 100 / 35 / 3 Регистрация: 09.03.2024 Сообщений: 96 Записей в блоге: 8
	17.06.2024, 00:45	2
	Давайте возьмем a=1. Попробуйте найти k для этого случая. 0

@andreyfreelans 560 / 347 / 174 Регистрация: 21.02.2011 Сообщений: 5,035
	17.06.2024, 11:06	3
	Для чисел вида a^2 + 1 доказано, что они не могут быть кратны простым числам вида 4k+3. Для этого можно использовать теорему о простых числах вида 4k+1, которая утверждает, что любое простое число такого вида может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Если бы число a^2 + 1 было кратно простому числу вида 4k+3, то оно могло бы быть представлено в виде суммы квадратов целых чисел, что противоречит свойству чисел вида a^2 + 1. 0

@BAU_MAN 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.06.2024 Сообщений: 3
	17.06.2024, 12:09 [ТС]	4
	Не понял, если честно. Про рождественскую теорему Ферма знаю. Это как раз о том, что любое простое вида 4k+1 представимо в виде суммы двух квадратов. У нее есть и следствие. А дальнейшие рассуждения не понял. У нас есть составное число a^2 + 1. Мы предполагаем его кратность некоему p=4k+3 и хотим от противного получить отрицательный ответ, но ведь про числа 4k+3 мы ничего в этом плане утверждать не можем. Более того, наше a^2 + 1 и так предствлено в виде суммы двух квадратов. Есть тождество Диофанта, через которое можно даже представить его через сумму двух других квадратов, ну и что это даст, если оно не простое. Из следствия рождественской теоремы Ферма, насколько я знаю, можно максимум утверждать, что наше число если и кратно 4k+3, то оно входит в четной степени. 0

@mihailm 1668 / 1108 / 294 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,421
	17.06.2024, 12:15	5
	BAU_MAN, это несложный факт из начал теории чисел Типа, когда -1 является квадратичным вычетом по простому числу р 0

@BAU_MAN 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.06.2024 Сообщений: 3
	17.06.2024, 12:27 [ТС]	6
	Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида 4k + 3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени. Я только такой факт видел. Но это более слабое утверждение, оно не говорит ничего о полном отсутствии. Следствие как раз из рождественской теоремы Ферма. 0

@Red white socks 4505 / 1881 / 334 Регистрация: 18.01.2021 Сообщений: 3,467
	19.06.2024, 16:52	7
	BAU_MAN, не надо никакой рождественской теоремы. Просто почитайте определение квадратичного вычета/невычета. Оттуда все следует. 0