Матрица оператора проецирования на плоскость

@Novichekk · Регистрация: 22.12.2019

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, не могу понять, как правильно решить следующую задачу.
Необходимо найти матрицу A опрератора проецирования t геометрических векторов пространства V3 на плоскость x+y-z=0. Также требуется найти собственные значения опрератора и базис собтвенных подпространств.
Заранее спасибо за помощь!

@kabenyuk · 24.05.2020, 19:08

Сообщение от Novichekk

найти матрицу A опрератора проецирования

Чтобы вычислить матрицу оператора нужен базис пространства. Есть базис - есть матрица, нет базиса - нет матрицы. Если выбор базиса в вашем распоряжении, то самое простое выбрать его так: а, b - неколлинеарные векторы, параллельные плоскости, с - нормальный вектор этой плоскости (тут еще одно уточнение задачи - речь об ортогональном проецировании?). Ну теперь все закончилось не успев начаться:
t(a)=a, t(b)=b, t(c)=0. Ну вот и матрица [t]=diag(1,1,0) - диагональная матрица с указанными числами на диагонали. Как видите нам даже и уравнение плоскости не потребовалось. Собственные значения: 0, 1. А вот базис собственного подпространства, отвечающего 0: это вектор с и вот тут нужна нам плоскость c=(1,1,-1), Базис собственного подпространства, отвечающего 1 - это векторы a и b. Скажем a=(1,0,1), b=(0,1,1).

@3D Homer · 24.05.2020, 20:06

Если не сказано иное, разумно рассматривать матрицу в том же базисе, в котором задана плоскость.

@jogano · 24.05.2020, 21:15

Математически проекция точки Т на плоскость, проходящую через начало координат, с нормальным вектором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{n}\left(a,b,c \right)$ , вычисляется так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_1=T-\frac{\left(T,\bar{n} \right)}{\left|\bar{n} \right|^2}\bar{n}$ , матрица линейного оператора вычисляется так (например, в Матлабе):

Кликните здесь для просмотра всего текста

Matlab M

>> format rat
>> n=[1 2 3]; % нормальный вектор плоскости x+2y+3z=0
>> A=eye(3)-1/(norm(n))^2*[n' n' n']*[n(1) 0 0; 0 n(2) 0; 0 0 n(3)] % матрица линейного оператора ортогонального
% проецирования точки на плоскость. eye(3) - единичная матрица 3*3, n' - вектор-столбец
 
A =
 
      13/14          -1/7           -3/14    
      -1/7            5/7           -3/7     
      -3/14          -3/7            5/14    
 
% ПРИМЕР:
>> T=[5;6;7];  % произвольная точка
T1=A*[5;6;7]  % ортогональное проецирование вектора с началом в (0;0;0) и концом в T на плоскость. Выходит вектор ОТ1
 
T1 =
 
      16/7     
       4/7     
      -8/7     
% проверка: 1) вектор ОТ1, который лежит в плоскости, должен быть ортогональный её нормальному вектору
>> dot(n,T1)  % скалярное произведение должно быть равно 0
 
ans =
 
       1/375299968947541
% то есть 0, как и должно быть
% 2) вектора ТТ1 и n должны быть коллинеарны, так как проецирование ортогональное, а значит, векторное 
% произведение этих векторов должно быть равно 0-вектору
>> cross(T-T1,n)
 
ans =
 
       0              0              0       
% так и есть.
>>

@Novichekk 2 / 1 / 1 Регистрация: 22.12.2019 Сообщений: 93
		1
	Матрица оператора проецирования на плоскость 24.05.2020, 09:25. Показов 14583. Ответов 3 Метки вектор, математика, матрица, оператор, определители, собственные значения (Все метки) Здравствуйте, не могу понять, как правильно решить следующую задачу. Необходимо найти матрицу A опрератора проецирования t геометрических векторов пространства V3 на плоскость x+y-z=0. Также требуется найти собственные значения опрератора и базис собтвенных подпространств. Заранее спасибо за помощь! 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	24.05.2020, 19:08	2
	Сообщение от Novichekk найти матрицу A опрератора проецирования Чтобы вычислить матрицу оператора нужен базис пространства. Есть базис - есть матрица, нет базиса - нет матрицы. Если выбор базиса в вашем распоряжении, то самое простое выбрать его так: а, b - неколлинеарные векторы, параллельные плоскости, с - нормальный вектор этой плоскости (тут еще одно уточнение задачи - речь об ортогональном проецировании?). Ну теперь все закончилось не успев начаться: t(a)=a, t(b)=b, t(c)=0. Ну вот и матрица [t]=diag(1,1,0) - диагональная матрица с указанными числами на диагонали. Как видите нам даже и уравнение плоскости не потребовалось. Собственные значения: 0, 1. А вот базис собственного подпространства, отвечающего 0: это вектор с и вот тут нужна нам плоскость c=(1,1,-1), Базис собственного подпространства, отвечающего 1 - это векторы a и b. Скажем a=(1,0,1), b=(0,1,1). 1

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5003 / 3615 / 1162 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,768
	24.05.2020, 20:06	3
	Если не сказано иное, разумно рассматривать матрицу в том же базисе, в котором задана плоскость. 1

	24.05.2020, 21:15

Матрица оператора проецирования на плоскость

Решение