Как решаются дробно-рациональные уравнения с одинаковым числителем или знаменателем

@Антон2 · Регистрация: 15.07.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

x+8 x+8
-------- = --------
5x+7 7x+5

Знаю, что надо приравнивать числители к 0, так как одинаковые, но почему?

@jogano · 15.07.2018, 22:57

1)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f_1\left(x \right)}{g\left(x \right)}=\frac{f_2\left(x \right)}{g\left(x \right)} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}f_1\left(x \right)=f_2\left(x \right)\\ g\left(x \right)\neq 0 \end{cases}$ , т.е. из набора корней первого уравнения исключить те, при которых знаменатель равен 0

2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f\left(x \right)}{g_1\left(x \right)}=\frac{f\left(x \right)}{g_2\left(x \right)} \: \Leftrightarrow \: \left[ \begin{cases}f\left(x \right)=0\\ g_1\left(x \right)\neq 0 \\g_2\left(x \right)\neq 0 \end{cases}\\\begin{cases}f\left(x \right)\neq 0\\ g_1\left(x \right)=g_2\left(x \right)\neq 0 \end{cases} \right.$
Словами: два случая. Если числитель равен 0 при каких-то х, то это есть корни исходного дробно-рационального уравнения, только нужно исключить те из них, при которых хотя бы один знаменатель равен 0. Если числитель не равен 0, то на него можно сократить и приравнять знаменатели, которые не должны быть равны 0. Объединить корни, полученные в обоих случаях (потому стоит совокупность систем).

Байт · 16.07.2018, 09:57

Антон2, Другим словами.
Переносите правую часть налево, меняя знак. Выносите за скобку (x+8) (f(x) в обозначениях jogano)
Далее пользуетесь тем, что в поле действительных чисел a*b = 0 тогда и только тогда a=0 или b=0
Конечно, значения x, делающие выражения недопустимыми, следует исключить.

@helter · 20.07.2018, 17:43

Для дробно-рациональных уравнений есть рецепт.

1. Перенести всё в одну сторону и загнать в одну дробь.
2. Составить систему: числитель дроби равен 0, знаменатель отличен от 0.
3. В полученной системе решить уравнение и отбросить решения, не удовлетворяющие неравенству.

Уравнения с одинаковыми числителями или знаменателями отдельных рецептов не требуют.

Например, в вашем случае: перекидываем всё в левую сторону, вычитаем дроби, получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(x + 8)(7x + 5) - (x + 8)(5x + 7)}{(5x + 7)(7x + 5)} = 0$
Скобки я не стал раскрывать, потому что числитель всё равно приравнивать к 0, а тут можно будет вынести x + 8 за скобку. Пожалуй, я сразу так и сделаю:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(x + 8)(7x + 5 - 5x - 7)}{(5x + 7)(7x + 5)} = 0$
Теперь система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{array}{l}(x + 8)(2x - 2) = 0 \\ (5x + 7)(7x + 5) \ne 0 \end{array}\right.$
Осталось решить квадратное уравнение, уже разложенное на множители, и проверить, удовлетворяют ли его решения ограничению.

@wer1 · 21.07.2018, 07:59

дано
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}$

решение
1.
x + 8 = 0
x = -8
2.
сокращаем на x + 8, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5x+7}=\frac{1}{7x+5}$ или
5x + 7 = 7x + 5
2x = 2
x = 1
ответ: x = -8; x = 1

примечание
Всегда надо использовать особенности уравнения и решать как проще и быстрее.

@angor6 · 21.07.2018, 09:05

Сообщение от Антон2

Знаю, что надо приравнивать числители к 0, так как одинаковые, но почему?

Потому что, в частности, две дроби с равными числителями равны, если они тождественно равны нулю. Отсюда сразу получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+8=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-8.$ Это один из корней заданного уравнения.

Второй корень заданного уравнения можно вычислить, если учесть, что две дроби с равными числителями равны, если равны их знаменатели. Как это сделать, показано в сообщении выше. Добавлю только, что нужно не забывать проверять полученные корни на неравенство нулю знаменателей обеих дробей.

@Антон2 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.07.2018 Сообщений: 1
		1
	Как решаются дробно-рациональные уравнения с одинаковым числителем или знаменателем 15.07.2018, 22:44. Показов 22032. Ответов 5 Метки нет (Все метки) x+8 x+8 -------- = -------- 5x+7 7x+5 Знаю, что надо приравнивать числители к 0, так как одинаковые, но почему? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	15.07.2018, 22:57	2
	1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f_1\left(x \right)}{g\left(x \right)}=\frac{f_2\left(x \right)}{g\left(x \right)} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}f_1\left(x \right)=f_2\left(x \right)\\ g\left(x \right)\neq 0 \end{cases}$ , т.е. из набора корней первого уравнения исключить те, при которых знаменатель равен 0 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f\left(x \right)}{g_1\left(x \right)}=\frac{f\left(x \right)}{g_2\left(x \right)} \: \Leftrightarrow \: \left[ \begin{cases}f\left(x \right)=0\\ g_1\left(x \right)\neq 0 \\g_2\left(x \right)\neq 0 \end{cases}\\\begin{cases}f\left(x \right)\neq 0\\ g_1\left(x \right)=g_2\left(x \right)\neq 0 \end{cases} \right.$ Словами: два случая. Если числитель равен 0 при каких-то х, то это есть корни исходного дробно-рационального уравнения, только нужно исключить те из них, при которых хотя бы один знаменатель равен 0. Если числитель не равен 0, то на него можно сократить и приравнять знаменатели, которые не должны быть равны 0. Объединить корни, полученные в обоих случаях (потому стоит совокупность систем). 2

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3811 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	16.07.2018, 09:57	3
	Антон2, Другим словами. Переносите правую часть налево, меняя знак. Выносите за скобку (x+8) (f(x) в обозначениях jogano) Далее пользуетесь тем, что в поле действительных чисел a*b = 0 тогда и только тогда a=0 или b=0 Конечно, значения x, делающие выражения недопустимыми, следует исключить. 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	20.07.2018, 17:43	4
	Для дробно-рациональных уравнений есть рецепт. 1. Перенести всё в одну сторону и загнать в одну дробь. 2. Составить систему: числитель дроби равен 0, знаменатель отличен от 0. 3. В полученной системе решить уравнение и отбросить решения, не удовлетворяющие неравенству. Уравнения с одинаковыми числителями или знаменателями отдельных рецептов не требуют. Например, в вашем случае: перекидываем всё в левую сторону, вычитаем дроби, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(x + 8)(7x + 5) - (x + 8)(5x + 7)}{(5x + 7)(7x + 5)} = 0$ Скобки я не стал раскрывать, потому что числитель всё равно приравнивать к 0, а тут можно будет вынести x + 8 за скобку. Пожалуй, я сразу так и сделаю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(x + 8)(7x + 5 - 5x - 7)}{(5x + 7)(7x + 5)} = 0$ Теперь система: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{array}{l}(x + 8)(2x - 2) = 0 \\ (5x + 7)(7x + 5) \ne 0 \end{array}\right.$ Осталось решить квадратное уравнение, уже разложенное на множители, и проверить, удовлетворяют ли его решения ограничению. 2

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	21.07.2018, 07:59	5
	дано $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}$ решение 1. x + 8 = 0 x = -8 2. сокращаем на x + 8, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5x+7}=\frac{1}{7x+5}$ или 5x + 7 = 7x + 5 2x = 2 x = 1 ответ: x = -8; x = 1 примечание Всегда надо использовать особенности уравнения и решать как проще и быстрее. 0

@angor6 Любитель математики 1478 / 989 / 282 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,280
	21.07.2018, 09:05	6
	Сообщение от Антон2 Знаю, что надо приравнивать числители к 0, так как одинаковые, но почему? Потому что, в частности, две дроби с равными числителями равны, если они тождественно равны нулю. Отсюда сразу получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+8=0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-8.$ Это один из корней заданного уравнения. Второй корень заданного уравнения можно вычислить, если учесть, что две дроби с равными числителями равны, если равны их знаменатели. Как это сделать, показано в сообщении выше. Добавлю только, что нужно не забывать проверять полученные корни на неравенство нулю знаменателей обеих дробей. 0