Найти все идеалы кольца

@EchoesArina · Регистрация: 27.10.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи.

@Mysterious Light · 12.05.2018, 20:20

Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться.

Z32 - кольцо вычетов по модулю 32.

Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32.

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$
В частности,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 3*9=-5, 13*3=39=7, 15*5=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32.
Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал.
Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал.
Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал.
Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16.

Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32.
Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел.
Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8.

Добавлено через 1 минуту
Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}.

@helter · 14.05.2018, 13:35

Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .	std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности NullReferenced 05.04.2025 Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .	Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .
Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .	Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .

@EchoesArina 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.10.2017 Сообщений: 123

	Найти все идеалы кольца 12.05.2018, 14:40. Показов 16220. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4302 / 2093 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,163 Записей в блоге: 24
	12.05.2018, 20:20
	Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться. Z32 - кольцо вычетов по модулю 32. Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32. Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$ В частности, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 39=-5, 133=39=7, 155=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32. Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал. Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал. Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал. Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16. Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32. Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел. Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8. Добавлено через 1 минуту* Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.05.2018, 13:35
	Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I. 0