Найти все идеалы кольца

@EchoesArina · Регистрация: 27.10.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи.

@Mysterious Light · 12.05.2018, 20:20

Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться.

Z32 - кольцо вычетов по модулю 32.

Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32.

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$
В частности,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 3*9=-5, 13*3=39=7, 15*5=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32.
Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал.
Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал.
Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал.
Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16.

Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32.
Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел.
Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8.

Добавлено через 1 минуту
Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}.

@helter · 14.05.2018, 13:35

Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I.

@EchoesArina 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.10.2017 Сообщений: 123
		1
	Найти все идеалы кольца 12.05.2018, 14:40. Показов 15837. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,163 Записей в блоге: 24
	12.05.2018, 20:20	2
	Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться. Z32 - кольцо вычетов по модулю 32. Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32. Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$ В частности, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 39=-5, 133=39=7, 155=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32. Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал. Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал. Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал. Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16. Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32. Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел. Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8. Добавлено через 1 минуту* Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}. 1

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.05.2018, 13:35	3
	Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I. 0