Найти все идеалы кольца

@EchoesArina · Регистрация: 27.10.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи.

@Mysterious Light · 12.05.2018, 20:20

Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться.

Z32 - кольцо вычетов по модулю 32.

Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32.

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$
В частности,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$
Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 3*9=-5, 13*3=39=7, 15*5=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32.
Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал.
Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал.
Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал.
Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16.

Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32.
Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел.
Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8.

Добавлено через 1 минуту
Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}.

@helter · 14.05.2018, 13:35

Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .
Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .	Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .

@EchoesArina 1 / 1 / 0 Регистрация: 27.10.2017 Сообщений: 123

	Найти все идеалы кольца 12.05.2018, 14:40. Показов 16498. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Найти все идеалы кольца Z32. Кто может объяснить как решаются подобного рода задачи. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4312 / 2104 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,203 Записей в блоге: 24
	12.05.2018, 20:20
	Вот мои рассуждения. Проверяйте, мог ошибиться. Z32 - кольцо вычетов по модулю 32. Идеал - подкольцо I такое, что xI=Ix=I для любого x из Z32. Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in I$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xa\in I$ В частности, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm1\in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..15}(2x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\in I \Rightarrow 1=3\times 11 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\in I \Rightarrow \forall x=\overline{0..7}(4x\in I)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5\in I \Rightarrow 3=5\times 7 \in I \Rightarrow I=Z_{32}$ Аналогично, 7 и 11 содержатся только в Z32. Также 39=-5, 133=39=7, 155=75=11. Поэтому 9, 13 и 15 тоже содержатся только в Z32. Числа вида 2n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z16, с "единицей" 2. Это идеал. Числа вида 4n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z8, с "единицей" 4. Это идеал. Числа вида 8n образуют подкольцо Z32, изоморфное Z4, с "единицей" 8. Это идеал. Два числа {0, 16} образуют идеал, изоморфный Z2, с "единицей" 16. Если некий идеал содержит 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и, двойственно, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 31, то он должен содержать все элементы Z32. Получается, несобственные идеалы должны состоять из чётных чисел. Но тогда они будет идеалами идеала Z16 из чётных чисел. Аналогично, несобственные идеалы Z16 должны состоять из "чётных" чисел (в терминах Z32 - из чисел вида 4n), то есть быть идеалами идеала Z8. Добавлено через 1 минуту* Вывод: несобственные идеалы Z32 включают {2n}, {4n}, {8n}={0,8,16,24} и {0, 16}. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.05.2018, 13:35
	Тот же результат можно получить с помощью несложной теоремы: идеалы фактор-кольца R/I — в точности образы при проекции идеалов J кольца R, содержащих I. 0