Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
Блоги Сообщество Поиск Заказать работу  
 
Рейтинг 4.51/55: Рейтинг темы: голосов - 55, средняя оценка - 4.51
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу

06.03.2018, 23:39. Показов 10434. Ответов 15
Метки нет (Все метки)

Author24 — интернет-сервис помощи студентам
Подскажите, с чего начать?

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}^{3} – линейное пространство арифметических трехмерных векторов. В https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}^{3} задан оператор А: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}) \rightarrow A(x).

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу в базисе https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta_1 =(1,0,0),\delta_2 =(0,1,0),\delta_3 =(0,0,1) и в базисе e1, e2, e3.

A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2); e1=(2,-1,1), e2=(3,1,-1), e3=(0,4,-2).

Доказательство попробую сам, а вот остальное...
0
IT_Exp
Эксперт
34794 / 4073 / 2104
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 32,602
Блог
06.03.2018, 23:39
Ответы с готовыми решениями:

Доказать, что существует единственный линейный оператор
Здравствуйте, добрый вечер. Доказать, что существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (u1, u2, u3) в векторы (v1,...

Нужно доказать (тема - Линейный оператор)
Нужно доказать, что если А-линейный оператор и взаимно отображается, то А^(-1) - тоже линейный оператор. т.е. ...

Доказать что векторы образуют базис. Найти его размерность
Здравствуйте. Наведите на мысли по поводу решения данной задачи. Спасибо. :senor: Правила форума :rtfm: Правила, 5.18....

15
Эксперт по математике/физике
4183 / 3051 / 918
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,196
07.03.2018, 07:37
Матрица А в единичном базисе состоит, судя по всему, из столбцов-координат векторов delta_i.
Ну а чтобы найти матрицу В этого же самого оператора в базисе е воспользуйтесь матрицей перехода Т,
столбцы которой координаты векторов е и формулой B=T^-1AT.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
08.03.2018, 02:46  [ТС]
Спасибо, что подсказали, у меня получилось следующее:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}^{-1}=\frac{1}{10}*T^{-T}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}

Матрица перехода:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}

И матрицу B нашел:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Если у Вас есть время и возможность проверить, буду благодарен.

Добавлено через 10 минут
А матрица А получается, что это коэффициенты A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) ?

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

Добавлено через 3 часа 31 минуту
Сейчас напишу, как считал, минут 7 подождите.

Добавлено через 41 минуту
1. Из новых координат вектора x, на который воздействует оператор А, A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) - вывел матрицу линейного оператора:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

2. Составил матрицу перехода из векторов e1,e2,e3, чтобы не путаться, вместо T назовем ее S:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}

3.Нашел определитель S, разложив его по элементам первой строки, получил 10

4. Из матрицы https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix},
нашел матрицу миноров
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sminor=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0\\ -6& -4 & -5\\ 12 & 8 & 5\end{pmatrix}

5. Нашел матрицу алгебраических дополнений:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Salg.dop=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 6 & -4 & 5\\ 12 & -8 & 5\end{pmatrix}

6. Нашел транспонируемую матрицу алгебраических дополнений:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^T=\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}

7. Нашел обратную матрицу:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^{-1}=\frac{1}{S}*S^T=\frac{1}{10}*\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}

8. Нашел матрицу B:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=S^{-1}*A*S=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1\end{pmatrix}
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для jogano
6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4
08.03.2018, 03:13
Матрица А должна быть транспонированной к той, которую вы написали: воздейтвие линейного оператора на вектор есть умножением матрицы А на вектор-столбец. По-вашему, должно выйти
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}x_2\\ -x_2-2x_3\\ x_1+x_2+x_3\end{matrix} \right)
Разве такие координаты вам даны по условию при воздействии оператора?
Не было необходимости так подробно расписывать нахождение обратной матрицы, с этим вполне справляются и матпакеты. Нужна была только формула, по которой вы искали В, т.е. только пункт 8.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
08.03.2018, 03:27  [ТС]
А, понял. То есть, по идее все правильно, кроме 8 пункта, надо переделать на:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0,2 & 0,6 & 1,2\\ 0,2 & -0,4 & -0,8\\ 0 & 0,5 & 0,5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для jogano
6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4
08.03.2018, 03:50
Кроме 1-го пункта, 8-й правильный (сама формула для поиска В).
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
08.03.2018, 03:55  [ТС]
Понял, спасибо.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
10.03.2018, 22:26  [ТС]
Добрый вечер, подскажите, а как доказать, что А это линейный оператор пространства R3? С чего начать?
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для eropegov
505 / 465 / 100
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,371
10.03.2018, 23:24
Mazytta56, определение линейного оператора - с него начать, им же и закончить.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
11.03.2018, 00:41  [ТС]
eropegov, я понял, надо доказать, что A ( x + y) = Ax + Ay
A ( λ ⋅ x) = λ ⋅ Ax, а для матрицы моего оператора https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}
подойдут для доказательства векторы x1=(1,2,3) и x2=(4,5,6)?
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для eropegov
505 / 465 / 100
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,371
11.03.2018, 00:58
Верно, что проверять надо те два равенства, что вы выписали в начале комментария (хотя их можно и в одно объединить, так даже удобнее: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(\lambda x + \mu y) = \lambda Ax + \mu Ay); но это делается в общем виде, а не для конкретных векторов. Никакие конкретные векторы доказательства не дают.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
11.03.2018, 01:08  [ТС]
eropegov, в общем виде? Это как, подскажите.
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для eropegov
505 / 465 / 100
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,371
11.03.2018, 01:11
Берёте векторы https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=(x_1,x_2,x_3), https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=(y_1,y_2,y_3) и проверяете.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
11.03.2018, 01:13  [ТС]
eropegov, а то есть проверять все в символьном виде, без конкретных цифр. Верно?
0
Эксперт по математике/физике
 Аватар для eropegov
505 / 465 / 100
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,371
11.03.2018, 01:15
Да. Оператор у вас конкретный, всё остальное - в общем виде.
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.05.2016
Сообщений: 238
11.03.2018, 01:15  [ТС]
eropegov, понял, спасибо.
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
BasicMan
Эксперт
29316 / 5623 / 2384
Регистрация: 17.02.2009
Сообщений: 30,364
Блог
11.03.2018, 01:15
Помогаю со студенческими работами здесь

Показать, что существует линейный оператор в подпространстве
Пусть L - подпространство подпространства Х, А - линейный оператор из L в некоторое пространство У. Показать, что найдётся линейный...

Доказать, что векторы вида (a, b-a, 2a+b) образуют линейное подпространство в пространстве R3. Найти его базис
Доказать, что векторы вида (a, b-a, 2a+b) образуют линейное подпространство в пространстве R3. Найти его базис и размерность. Дополнить...

Докажите, что указанное отображение есть диагонализируемый линейный оператор
Помогите пожалуйста разобраться с задачей В векторном пространстве V задано отображение f правилом: f(x) = - x. Докажите, что f...

Найти обратный линейный оператор
Для следующих линейных операторов A, действующих в линейном пространстве R3, выяснить их обратимость. В случае их обратимости найти...

Доказать, что оператор является эпиморфизмом
Здравствуйте! Пусть линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве, действует взаимно-однозначно. Доказать, что этот...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
16
Ответ Создать тему
Новые блоги и статьи
Контейнеризация React приложений с Docker
Reangularity 03.04.2025
Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .
Свой попап в SwiftUI
mobDevWorks 03.04.2025
SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .
Антипаттерны микросервисной архитектуры
ArchitectMsa 03.04.2025
Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .
std::mutex в C++: Советы и примеры использования
bytestream 03.04.2025
std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .
Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга.
Hrethgir 03.04.2025
Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering
Hrethgir 02.04.2025
Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .
На любовном киберфронте
Alexander-7 01.04.2025
Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .
Как работает Node.js изнутри
run.dev 29.03.2025
Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .
Моки в Python: Mock Object Library
py-thonny 29.03.2025
Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .
JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности
run.dev 29.03.2025
В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2025, CyberForum.ru
Выделить код Копировать код Сохранить код Нормальный размер Увеличенный размер