Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу

@Mazytta56 · Регистрация: 12.05.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, с чего начать?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}^{3}$ – линейное пространство арифметических трехмерных векторов. В $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}^{3}$ задан оператор А: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}) \rightarrow A(x)$ .

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу в базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta_1 =(1,0,0),\delta_2 =(0,1,0),\delta_3 =(0,0,1)$ и в базисе e1, e2, e3.

A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2); e1=(2,-1,1), e2=(3,1,-1), e3=(0,4,-2).

Доказательство попробую сам, а вот остальное...

@kabenyuk · 07.03.2018, 07:37

Матрица А в единичном базисе состоит, судя по всему, из столбцов-координат векторов delta_i.
Ну а чтобы найти матрицу В этого же самого оператора в базисе е воспользуйтесь матрицей перехода Т,
столбцы которой координаты векторов е и формулой B=T^-1AT.

@Mazytta56 · 08.03.2018, 02:46 **[ТС]**

Спасибо, что подсказали, у меня получилось следующее:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}^{-1}=\frac{1}{10}*T^{-T}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

Матрица перехода:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

И матрицу B нашел:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Если у Вас есть время и возможность проверить, буду благодарен.

Добавлено через 10 минут
А матрица А получается, что это коэффициенты A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) ?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

Добавлено через 3 часа 31 минуту
Сейчас напишу, как считал, минут 7 подождите.

Добавлено через 41 минуту
1. Из новых координат вектора x, на который воздействует оператор А, A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) - вывел матрицу линейного оператора:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

2. Составил матрицу перехода из векторов e1,e2,e3, чтобы не путаться, вместо T назовем ее S:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$

3.Нашел определитель S, разложив его по элементам первой строки, получил 10

4. Из матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$ ,
нашел матрицу миноров
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sminor=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0\\ -6& -4 & -5\\ 12 & 8 & 5\end{pmatrix}$

5. Нашел матрицу алгебраических дополнений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Salg.dop=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 6 & -4 & 5\\ 12 & -8 & 5\end{pmatrix}$

6. Нашел транспонируемую матрицу алгебраических дополнений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^T=\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}$

7. Нашел обратную матрицу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^{-1}=\frac{1}{S}*S^T=\frac{1}{10}*\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}$

8. Нашел матрицу B:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=S^{-1}*A*S=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1\end{pmatrix}$

@jogano · 08.03.2018, 03:13

Матрица А должна быть транспонированной к той, которую вы написали: воздейтвие линейного оператора на вектор есть умножением матрицы А на вектор-столбец. По-вашему, должно выйти
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}x_2\\ -x_2-2x_3\\ x_1+x_2+x_3\end{matrix} \right)$
Разве такие координаты вам даны по условию при воздействии оператора?
Не было необходимости так подробно расписывать нахождение обратной матрицы, с этим вполне справляются и матпакеты. Нужна была только формула, по которой вы искали В, т.е. только пункт 8.

@Mazytta56 · 08.03.2018, 03:27 **[ТС]**

А, понял. То есть, по идее все правильно, кроме 8 пункта, надо переделать на:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0,2 & 0,6 & 1,2\\ 0,2 & -0,4 & -0,8\\ 0 & 0,5 & 0,5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$

@jogano · 08.03.2018, 03:50

Кроме 1-го пункта, 8-й правильный (сама формула для поиска В).

@Mazytta56 · 08.03.2018, 03:55 **[ТС]**

Понял, спасибо.

@Mazytta56 · 10.03.2018, 22:26 **[ТС]**

Добрый вечер, подскажите, а как доказать, что А это линейный оператор пространства R3? С чего начать?

@eropegov · 10.03.2018, 23:24

Mazytta56, определение линейного оператора - с него начать, им же и закончить.

@Mazytta56 · 11.03.2018, 00:41 **[ТС]**

eropegov, я понял, надо доказать, что A ( x + y) = Ax + Ay
A ( λ ⋅ x) = λ ⋅ Ax, а для матрицы моего оператора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}$
подойдут для доказательства векторы x1=(1,2,3) и x2=(4,5,6)?

@eropegov · 11.03.2018, 00:58

Верно, что проверять надо те два равенства, что вы выписали в начале комментария (хотя их можно и в одно объединить, так даже удобнее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(\lambda x + \mu y) = \lambda Ax + \mu Ay$ ); но это делается в общем виде, а не для конкретных векторов. Никакие конкретные векторы доказательства не дают.

@Mazytta56 · 11.03.2018, 01:08 **[ТС]**

eropegov, в общем виде? Это как, подскажите.

@eropegov · 11.03.2018, 01:11

Берёте векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=(x_1,x_2,x_3)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=(y_1,y_2,y_3)$ и проверяете.

@Mazytta56 · 11.03.2018, 01:13 **[ТС]**

eropegov, а то есть проверять все в символьном виде, без конкретных цифр. Верно?

@eropegov · 11.03.2018, 01:15

Да. Оператор у вас конкретный, всё остальное - в общем виде.

@Mazytta56 · 11.03.2018, 01:15 **[ТС]**

eropegov, понял, спасибо.

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.03.2018, 01:13 [ТС]	14
	eropegov, а то есть проверять все в символьном виде, без конкретных цифр. Верно? 0

Новые блоги и статьи
Что такое HCL Notes и как с ним работать InfoMaster 10.01.2025 HCL Notes (ранее известный как IBM Notes и Lotus Notes) представляет собой комплексную платформу для совместной работы и обмена информацией в корпоративной среде. Это многофункциональное решение,. . .	Как работать с Git из Windows и Visual Studio InfoMaster 10.01.2025 Работа с Git в Windows Работа с Git в операционной системе Windows может быть осуществлена с помощью различных инструментов, каждый из которых обладает своими уникальными возможностями и. . .	Аналог оператора switch case в Python InfoMaster 10.01.2025 Оператор switch case используется в программировании для выбора одного из нескольких вариантов исполнения кода. Однако в языке Python этот оператор отсутствует. Понимание аналогов switch case в. . .	Отличия абстрактного класса от интерфейса InfoMaster 10.01.2025 В современной разработке программного обеспечения существуют два основных механизма реализации абстракции: абстрактные классы и интерфейсы. Эти инструменты, хотя и схожи в своей основной цели -. . .	Как работать в Git InfoMaster 10.01.2025 Git — это одна из наиболее популярных систем контроля версий, которая активно используется разработчиками по всему миру. Она позволяет эффективно управлять изменениями в коде, координировать работу. . .	Реализация передвижения персонажа в Unity3d на C# InfoMaster 10.01.2025 Реализация передвижения персонажа в Unity3D начинается с правильной настройки проекта. Этот этап критически важен для создания отзывчивого и плавного управления. Рассмотрим основные шаги для создания. . .
Docker: руководство для начинающих InfoMaster 10.01.2025 В современном мире разработки программного обеспечения контейнеризация стала неотъемлемой частью процесса создания и развертывания приложений. Docker, как ведущая платформа контейнеризации, произвела. . .	Книги и учебные ресурсы по C# InfoMaster 08.01.2025 Базовые учебники и руководства Одной из лучших книг для начинающих является "C# 10 и . NET 6 для начинающих" Эндрю Троелсена и Филиппа Джепикса . Книга последовательно раскрывает основные концепции. . .	Что такое NullReferenceException и как исправить? InfoMaster 08.01.2025 NullReferenceException - одно из самых распространенных исключений, с которым сталкиваются разработчики на C#. Это исключение возникает при попытке обратиться к членам объекта (методам, свойствам или. . .	Что такое Null Pointer Exception (NPE) и как это исправить? InfoMaster 08.01.2025 Null Pointer Exception (NPE) - это одно из самых распространенных исключений в Java, которое возникает при попытке использовать ссылку на объект, значение которой равно null. Это исключение относится. . .	Русский язык в консоли C++ InfoMaster 08.01.2025 При разработке программ на C++ одной из частых проблем, с которой сталкиваются русскоязычные программисты, является корректное отображение кириллицы в консольных приложениях. Эта проблема особенно. . .	Telegram бот на C# InfoMaster 08.01.2025 Разработка ботов для Telegram стала неотъемлемой частью современной экосистемы мессенджеров. C# предоставляет мощный и удобный инструментарий для создания разнообразных ботов, от простых. . .

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	07.03.2018, 07:37	2
	Матрица А в единичном базисе состоит, судя по всему, из столбцов-координат векторов delta_i. Ну а чтобы найти матрицу В этого же самого оператора в базисе е воспользуйтесь матрицей перехода Т, столбцы которой координаты векторов е и формулой B=T^-1AT. 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	08.03.2018, 02:46 [ТС]	3
	Спасибо, что подсказали, у меня получилось следующее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}^{-1}=\frac{1}{10}T^{-T}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ Матрица перехода: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$ И матрицу B нашел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ Если у Вас есть время и возможность проверить, буду благодарен. Добавлено через 10 минут* А матрица А получается, что это коэффициенты A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ Добавлено через 3 часа 31 минуту Сейчас напишу, как считал, минут 7 подождите. Добавлено через 41 минуту 1. Из новых координат вектора x, на который воздействует оператор А, A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2x2) - вывел матрицу линейного оператора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ 2. Составил матрицу перехода из векторов e1,e2,e3, чтобы не путаться, вместо T назовем ее S: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$ 3.Нашел определитель S, разложив его по элементам первой строки, получил 10 4. Из матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\begin{pmatrix}2 & 3& 0\\ -1& 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$ , нашел матрицу миноров $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sminor=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0\\ -6& -4 & -5\\ 12 & 8 & 5\end{pmatrix}$ 5. Нашел матрицу алгебраических дополнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Salg.dop=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 6 & -4 & 5\\ 12 & -8 & 5\end{pmatrix}$ 6. Нашел транспонируемую матрицу алгебраических дополнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^T=\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}$ 7. Нашел обратную матрицу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S^{-1}=\frac{1}{S}S^T=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 6 & 12\\ 2 & -4 & -8\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}$ 8. Нашел матрицу B: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B=S^{-1}AS=\begin{pmatrix}0.2 & 0.6 & 1.2\\ 0.2 & -0.4 & -0.8\\ 0 & 0.5 & 0.5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.6 & 4.4 & 3.2\\ 1 & -4.6 & 8.8\\ 0.5 & 2 & 1\end{pmatrix}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.03.2018, 03:13	4
	Матрица А должна быть транспонированной к той, которую вы написали: воздейтвие линейного оператора на вектор есть умножением матрицы А на вектор-столбец. По-вашему, должно выйти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}x_2\\ -x_2-2x_3\\ x_1+x_2+x_3\end{matrix} \right)$ Разве такие координаты вам даны по условию при воздействии оператора? Не было необходимости так подробно расписывать нахождение обратной матрицы, с этим вполне справляются и матпакеты. Нужна была только формула, по которой вы искали В, т.е. только пункт 8. 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	08.03.2018, 03:27 [ТС]	5
	А, понял. То есть, по идее все правильно, кроме 8 пункта, надо переделать на: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0,2 & 0,6 & 1,2\\ 0,2 & -0,4 & -0,8\\ 0 & 0,5 & 0,5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3 & 0\\ -1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & -2\end{pmatrix}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.03.2018, 03:50	6
	Кроме 1-го пункта, 8-й правильный (сама формула для поиска В). 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	08.03.2018, 03:55 [ТС]	7
	Понял, спасибо. 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	10.03.2018, 22:26 [ТС]	8
	Добрый вечер, подскажите, а как доказать, что А это линейный оператор пространства R3? С чего начать? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	10.03.2018, 23:24	9
	Mazytta56, определение линейного оператора - с него начать, им же и закончить. 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.03.2018, 00:41 [ТС]	10
	eropegov, я понял, надо доказать, что A ( x + y) = Ax + Ay A ( λ ⋅ x) = λ ⋅ Ax, а для матрицы моего оператора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}$ подойдут для доказательства векторы x1=(1,2,3) и x2=(4,5,6)? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.03.2018, 00:58	11
	Верно, что проверять надо те два равенства, что вы выписали в начале комментария (хотя их можно и в одно объединить, так даже удобнее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(\lambda x + \mu y) = \lambda Ax + \mu Ay$ ); но это делается в общем виде, а не для конкретных векторов. Никакие конкретные векторы доказательства не дают. 0

	11.03.2018, 01:15

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.03.2018, 01:08 [ТС]	12
	eropegov, в общем виде? Это как, подскажите. 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.03.2018, 01:11	13
	Берёте векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=(x_1,x_2,x_3)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=(y_1,y_2,y_3)$ и проверяете. 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.03.2018, 01:15 [ТС]	16
	eropegov, понял, спасибо. 0