Смысл транспонированной матрицы

Добрый день! Как посчитать транспонированную матрицу по формуле известно даже школьнику. Просмотрел более 5 курсов на эту тему(MIT, coursera, khanacademy), несколько книг, и везде дается лишь сухая формула транспонированной матрицы, без главного - смысла. Очень хочется понять что же это за сущность такая. Заранее большое спасибо!

P.S. Уважаемые преподаватели дают лишь некую магическую формулу без доказательства. От этого изучать линал напрочь пропадает, ведь он превращается в набор магических скучных формул, которые просто есть и их надо знать, что очень печально, ведь в этом понятии заложена логика, какой-то смысл. ИМХО определение в стиле просто переверните столбики - это позор для преподавателя такой строгой и точной дисциплины, как линейная алгебра. Извините, наболело.

1

Сообщение от bazelbodayFaron как посчитать транспонированную матрицу по формуле известно даже школьнику.

Строки заменяются столбцами. Это не доказывается. Это ее определение.

1

Транспонирование - функция от матрицы, введена для удобства. Иногда нужно умножать вектор-строку на матрицу и получать вектор-строку, а иногда матрицу на вектор-столбец и получать вектор-столбец. Чтобы в обоих случая результат был одинаковым (координаты результирующего вектора), во втором случае нужно умножать матрицу с заменой строк и столбцов, т.е. транспонированную. Символьно:
- в обоих случаях получается одинаковый вектор-столбец. А слева в скобках - вектор-строка с теми же координатами.

1

Просто матрица описывает базис линейного пространства, как можно так легко взять и вывернуть его(заменить столбцы на строки), чтобы получить транспонированную матрицу? Хотелось бы увидеть в этом логику.

0

Она может не только базис описывать но и преобразование из базиса в базис . В некоторых случаях (только поворот без масштабирования и параллельного переноса) транспонированная матрица соответствует обратному преобразованию.

1

bazelbodayFaron, а разве есть какой-то особый смысл, который все знают, но рассказывать не хотят? Расскажите тогда.
Про двойственный симплекс метод рассказывать не надо. Это если и рассказывают, то в конце курса. А вот какой смысл нужно донести студентам, когда вы знакомите их с матрицами.

1

Вспоминаю как на первой лекции незабвенный Лев Анатольевич Скорняков http://letopis.msu.ru/peoples/2507 долго что-то писал на доске. Потом повернулся, выбросил вперед свою единственную руку, и торжественно произнес - "Матрицей называется таблица вида...!"
И все. Правда, с матрицами можно делать всякие штуки - складывать, умножать по странным каким-то законам, переворачивать, всячески изгаляться над строками и столбцами... А потом, через пару лекций, выяснилось, что с помощью этих "таблиц вида" можно решать самые разные задачи, записывать в одну строчку сложные зависимости, в общем - это мощный инструмент.

3

Плюсую про инструмент. Матрицы применяются в разных дисциплинах, поэтому матрица может допускать разные интерпретации — как линейный оператор, или квадратичная форма, или матрица перехода, или система уравнений, или (покидаем линейную алгебру) как матрица смежности или инцидентности графа, или цепь Маркова, или план перевозок в транспортной теории. Но это всё интерпретации, а матрицы существуют сами по себе. Утверждение о матрицах может допускать разные интерпретации. Напрашивающийся пример: утверждение «для любой симметрической матрицы A найдётся ортогональная матрица O, такая, что матрица ортогональна» может быть интерпретировано в виде геометрической теоремы: «самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве имеет базис из собственных векторов» или алгебраической теоремы о многочленах «квадратичную форму с вещественными коэффициентами можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием».

Что касается интерпретации транспонирования в линейной алгебре, мне кажется, оно, как и двумерность матрицы, наиболее естественно согласуется с дуальностью. Например, если A — матрица линейного оператора в каком-то базисе, то транспонированная матрица A' является матрицей сопряжённого оператора в дуальном базисе. Или если T — матрица перехода от базиса e к базису f, то транспонированная T' — матрица перехода от базиса, дуального к f, к базису, дуальному к e.

Добавлено через 2 минуты
А, и с той точки зрения, что матрица — «таблица вида», операция транспонирования совершенно естественна. Что, в конце концов, можно сделать с таблицей? Перевернуть — одно из простейших действий.

2

Спасибо за ответы! Темрин дуальность встречал уже где-то, думаю нужно в этом направлении копать.

Нашел очень неплохие, хорошо иллюстрированные лекции. Вот конкретно в этом уроке автор на пальцах объясняет, что скалярное произведение векторов a и b равно произведению транспонированного вектора на a на b и говорит, что для каждого некого вектора в одном линейном пространстве, соответствует другой вектор в другом линейном пространстве, и как раз это и есть дуальность. :

https://www.youtube.com/watch?v=LyGKycYT2v0

Может по аналогии можно найти и транспонированную матрицу?

0

Про дуальность лучше в учебнике прочитайте. В любом. В Кострикине, например. Скалярное произведение ни при чём, его обычно вообще нет. Общий смысл, что пространство и его сопряжённое можно рассматривать как пару равноценных пространств, соединённых спариванием.

Вообще, я, конечно, не могу почитать за вас учебники, но если что непонятно, попробую пояснить. В линейной алгебре часто бывает, что материал кажется абсолютно непонятным, а если разобраться ― совершенно очевидным.

Приведу примеры матричного формализма. Для определённости буду писать над R, но поле непринципиально.

Пусть ― пространство матриц-столбцов высоты n, а ― пространство матриц-строк длины n. Зафиксируем и рассмотрим отображение , задаваемое как , где LX означает обычное произведение матриц, и матрицу из одного элемента мы отождествляем с числом. Это отображение линейно. То есть произвольному мы можем поставить в соответствие линейный функционал на . Нетрудно понять, что это отображение является изоморфизмом на пространство, сопряжённое к , причём применению функционала соответствует матричное умножение. Значит, можно рассматривать как сопряжённое пространство к , и умножение матриц играет роль спаривания.

Теперь рассмотрим квадратную матрицу . Матричное произведение LAX, где , , определяет билинейное отображение , то есть тензор ранга (1, 1). В этом произведении можно расставить скобки двумя способами: LAX = L(AX) = (LA)X. Каждой расстановке скобок соответствует точка зрения на A как на линейный оператор: на или на . Именно, матрица-столбец Y = AX является единственным вектором из , таким, что LAX = LY для любого L, и, с другой стороны, матрица-строка M = LA является единственным вектором из , таким, что LAX = MX для любого X. Таким образом, если мы действуем квадратной матрицей сразу на матрицу-столбец и матрицу-строку с помощью умножения, мы получаем тензор; этому тензору соответствует линейный оператор на , когда A действует умножением слева и на , когда A действует умножением справа. Эти два оператора называются сопряжёнными. (Вообще, сопряжённым, или дуальным к линейному оператору A: V → W называется оператор A*: W* → V*, действующий в сопряжённых пространствах, такой, что l(Av) = (A*l)v для любых v ∈ V, l ∈ W*.) Какие у этих операторов матрицы в стандартном базисе? Матрица оператора ― это матрица, действующая на столбец координат вектора слева. Значит, оператор имеет матрицу A. Чтобы записать действие сопряжённого оператора как умножение столбца координат на матрицу слева, приходится транспонировать: , и, таким образом, матрица сопряжённого оператора ― это транспонированная матрица A'.

Сказанное применимо к любому конечномерному пространству, в котором выбран базис. Тогда координаты векторов записываем как столбцы, а координаты функционалов в дуальном базисе ― как строки.

Немного насчёт скалярного произведения. Теорема Рисса позволяет канонически отождествить евклидово пространство со своим сопряжённым: вектору x ставится в соответствие функционал скалярного умножения на x. В паре пространств и это отождествление является ни чем иным как транспонированием. В самом деле, давайте поймём, какой функционал соответствует по теореме Рисса вектору

На произвольный вектор

этот функционал должен действовать как скалярное умножение на X, то есть . Однако это в точности матричное произведение .

Сказанное имеет смысл и для любого евклидова пространства, в котором выбран ортонормированный базис.

Так как скалярное произведение выражается через транспонирование, то неудивительно, что транспонирование участвует в определениях специальных классов операторов на евклидовых пространствах. Например, ортогональный оператор ― это оператор, сохраняющий скалярное произведение. Выбрав в данном евклидовом пространстве ортонормированный базис и записывая координаты в столбцы (фактически мы переселились в ) для матрицы O ортогонального оператора мы имеем
(OX)'OY = X'Y
для всех X, Y. Это эквивалентно
(X'O')OY = X'Y
X'(O'O)Y = X'Y
и в силу произвольности X, Y заключаем, что O'O ― единичная матрица, то есть , обратная матрица ортогонального оператора совпадает с транспонированной.

Моё утверждение о транспонированной матрице перехода попробуйте доказать в качестве упражнения.

2

Огромное спасибо за объяснение и уделенное время! Теперь время вдумчивого чтения и разбора вышенаписанного, тем более что в вашем объяснении я увидел понятия, которые мне еще не знакомы).

Касательно учебников:

Многие определения и понятие в них даются супер ёмко. С одной стороны краткость позволяет описывать многие процессы в несколько символов, с другой, понять их смысл бывает непросто, особенно когда объяснение так же под стать написано супер кратко и абстрактно. Иногда без "переводчика" на русский язык не обойтись. Учебники больше напоминают справочное пособие для учителя и справочник формулировок, чем на полноценное истолкование предмета.

0

Сообщение от bazelbodayFaron с другой, понять их смысл бывает непросто

Опять вы говорите про смысл. Хотя на вопрос, какой может быть смысл у транспонирования и какие ваши претензии к преподавателям и авторам учебников, так и не ответили. Вспоминается Тютчев:

Природа – сфинкс. И тем она верней
Своим искусом губит человека,
Что, может статься, никакой от века
Загадки нет и не было у ней.

Если вы будете застревать на правилах игры, типа, почему конь ходит именно буквой Г, вы никогда не научитесь играть в шахматы.

0

Сообщение от bazelbodayFaron Учебники больше напоминают справочное пособие для учителя и справочник формулировок, чем на полноценное истолкование предмета.

Вот когда вы чему-то уже научитесь, более того, вам захочется поделиться своими знаниями, и вы сами задумаете писать учебник, вот тогда вы может быть поймете, насколько это занятие непросто. Не думаю, что мне удастся дожить до этого замечательного момента, но, надеюсь, вы вспомните этот пост.
Знание у вас есть. А аудитория - ну очень разнообразная. Кому-то надо начинать с царя Гороха, кто-то балдеет от одной аксиоматики, от того что самые разные штуки легко подводятся под одну крышу, кому-то нужно обоснование в виде бесчисленных примеров, а кого-то надо просто разбудить. И в любом случае в ваш труд должен быть полон, то есть обязан выполнять функцию справочника. Увы, не у всех авторов хватает сил, времени, способностей для удовлетворения как можно большего количества запросов аудитории. Но справочник он сделать просто обязан. И не у всех есть силы идти дальше.
Тем не менее, есть довольно много удачных учебников и пособий. Просто нужно поискать те, которые возьмут вас за живое. Именно вас.

Добавлено через 18 минут
https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%B8%D1%87

0

Кстати, мне нравятся американские учебники. Те, что уровня undergraduate, пишутся, как говорил Задорнов, для тупых. Там много объяснений и примеров. У них есть такая серия "для чайников" и даже "для полного идиота". Например зацените такой заголовок на обложке: The Complete Idiot's Guide to Game Theory.

1

Сообщение от bazelbodayFaron Многие определения и понятие в них даются супер ёмко. С одной стороны краткость позволяет описывать многие процессы в несколько символов, с другой, понять их смысл бывает непросто, особенно когда объяснение так же под стать написано супер кратко и абстрактно.

Вы ещё исследовательских статей не видели. Это известный факт, что математический текст читать тяжело. Тренируйтесь потихоньку. Хорошо, когда можно обсудить с кем-то лично, но на форуме — тоже неплохо.

Я только не понял для себя, продолжаете ли вы искать подвох в определении транспонирования. Нет там подвоха. Ставят строки в столбцы (по желанию — столбцы укладывают в строки), и всё. Так любую таблицу можно положить на бок, и никакого знания линейной алгебры для этого не требуется.

0

palva, при всем моем уважении к Тютчеву, приведенная вами литература мне активно не нравится. Как и вся современная американская (я имею в виду только переводную, ибо тратить свои молодые силы на перевод оригиналов для меня работа весьма затратная). Она (американская техническая-компьютерная литература) за последние 40 лет весьма сдала. А я ведь еще помню Ахо и Ульмана! И этот ее "стилек"... Может виноват мой желудок. Тошнит меня.
И когда я вижу

для полного идиота". The Complete Idiot's Guide to Game Theory.

у меня закрадывается вполне обоснованное подозрение - а может быть автор пишет сам для себя?
Ведь автор является первым читателем своего произведения! Или даже это уже не так?

0

Прошу прощения за некро-темы, но все же:
когда мы транспонируем

|x x x|
|y y y|
|z z z|

и получаем

|x y z|
|x y z|
|x y z|

это мы просто записали векторы в строки вместо столбцов или мы поимели 3 вектора-столбца с новыми координатами? Как лучше (как Вы привыкли) это интерпретировать?

0

Сообщение от Vanka03 записали векторы в строки вместо столбцов

Да, i-я строка после транспонирования становится i-м столбцом новой матрицы.

0

Сообщение от Vanka03 или мы поимели 3 вектора-столбца с новыми координатами?

- Именно так !

Каждая матрица указывает КУДА перемещаются базисные вектора при данной линейной трансформации.

"Вектор - столбцы" матрицы кодируют "новый" базис в системе координат "старого" базиса.

Транспонирование матрицы - производит прямо противоположное действие - "старый " базис представляется в системе координат "нового" базиса.

Пример:

У Вас есть вектор - столбец в 3-мерном пространстве:

|X|
|Y|
|Z| - можно рассматривать как проекции вектора на базисные оси

Транспонируем вектор : |X Y Z| - а вот это можно рассматривать как проекцию 3 осей базиса на одномерный базис вектора.

Тут уже давали ссылку на видео от 3Blue1Brown.

А вот конкретно про проекции
" Неквадратные матрицы как трансформации между измерениями | Сущность Линейной Алгебры "

https://www.youtube.com/watch?... ZeXwJxZil2

0

Матрицу можно рассматривать как матрицу некоторого линейного отображения из E в F. Тогда транспонированная матрица есть матрица соответствующего отображения из F* в E*. Читайте на с. 96 в Заманский М. - Введение в современную алгебру и анализ.

0