Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000

@Klaron · Регистрация: 11.04.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Для натуральных чисел a и b операцию # определим так:
a # b = a - b + a mod b.
Найти пары чисел, для которых a # b = b # a.

Добавлено через 3 минуты
Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у, либо, если числа равны, равен нулю.

@Matan! · 05.05.2017, 09:57

Сообщение от Klaron

Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20.

Неправильные пары..

@jogano · 05.05.2017, 14:28

Сообщение от Klaron

Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у

Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10.
1) Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Имеем^
a-b+a mod b=b-a+b mod a
3a-2b= b mod a
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \left{\frac{b}{a} \right}=3a-2b \: \left(:a \right)\\\left{\frac{b}{a} \right}=3-\frac{2b}{a}\\$
Обозначив дробь внутри функции дробной части {...} за х>1, получаем уравнение с целыми частями
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\left[x \right]=3-2x \: \Rightarrow \: \left[x \right]=3x-3$
Если целая часть равна n (целое число от 0 и выше), то получаем систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}n\leq x<n+1\\ x=\frac{n}{3}+1 \end{cases} \: \Rightarrow \: n-? \: : \: n\leq \frac{n}{3}+1 <n+1 \: \Rightarrow \: 0<n\leq \frac{3}{2} \: \Rightarrow \: n=1$
Т.е. целая часть дроби b/a равна только 1, откуда, учитывая равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{n}{3}+1$ , получаем саму дробь: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{4}{3}$ . Т.е. b:a=4:3
2) a=b, тогда оба остатка равны по 0, и получаем a-b=b-a, откуда a=b.
Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(a;b \right) \in \left{\left(4k;3k \right),\; \left(3k;4k \right), \;\left(k;k \right), \: k \in \mathbb{N}\right}$

@Matan! · 05.05.2017, 14:34

jogano, а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b?

Добавлено через 36 секунд
Почему он ушёл в а, а не в 1?

@jogano · 05.05.2017, 14:37

Сообщение от Matan!

а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b?

Сообщение от jogano

a mod b = a

Сообщение от Matan!

Почему он ушёл в а, а не в 1?

Не понял вопрос.

@Matan! · 05.05.2017, 14:49

Как из этого

Сообщение от jogano

Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1.

Вот этот момент не до конца ясен..

@jogano · 05.05.2017, 14:57

Ну как...
При a<b (5<7; 10<14) 5 mod 7 = 5; 10 mod 14 = 10;
А b mod a это 7 mod 5 = 2 (число от 0 до 4); 14 mod 10 = 4 (число от 0 до 9).
В Экселе это функция =ОСТАТ(делимое;делитель)

@Matan! · 05.05.2017, 15:18

Сорри

пора мне учить матчасть..

@Klaron · 11.05.2017, 08:41 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Сообщение от Klaron
Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у
Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10.

Я имел в виду подходящие числа) 4mod3 = 1, НОД(4,3) =1. 20 mod 15 = 5, НОД(20,15) = 5.

Спасибо за ответ!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сайт компании Red-Star-Soft переехал на новый хостинг! Etyuhibosecyu 06.03.2025 Как и советовал Rius, я покинул хостинг от "Ru-Center" и перенес сайт red-star-soft. com на хостинг с более позитивными отзывами (спойлер: найти его было далеко не просто) (чтобы прочитать текст,. . .	Альтернативная сериализация в Java: сравнение Kryo, Protobuf и Avro Jamaican 06.03.2025 Сериализация — один из краеугольных процессов в Java-разработке. Превращение объектов в поток байтов для хранения или передачи по сети с последующим восстановлением звучит просто, но реализация этого. . .	Битва Java-кешей: Сравниваем Ehcache, Caffeine и Hazelcast Jamaican 06.03.2025 Производительность — вечный Святой Грааль для Java-разработчиков. Мы оптимизируем алгоритмы, настраиваем JVM, распараллеливаем процессы, но неизменно приходим к одному и тому же средству ускорения —. . .	Параметры подтверждения сообщения Kafka Jamaican 06.03.2025 Среди распределённых систем и высоконагруженных приложений Apache Kafka занимает особое место. Эта платформа потоковой обработки данных давно стала стандартом де-факто для организаций, которым. . .	Оптимизация времени запуска Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Вы когда-нибудь сидели, барабаня пальцами по столу, пока ваше Spring Boot приложение медленно поднимается? Этот момент, когда вы успеваете сходить за кофе, пообщаться с коллегами и вернуться, а. . .
Деплой Kubernetes в Java: масштабирование Spring Boot приложений Jamaican 06.03.2025 Когда ваше Spring Boot приложение внезапно получает всплеск трафика или требует плавного обновления без простоя — традиционные методы деплоя часто пасуют. Именно здесь на сцену выходит Kubernetes —. . .	Бессерверные приложения Java: сравнение AWS Lambda и Azure Functions Jamaican 06.03.2025 Что такое "бессерверные приложения" и почему они так привлекательны? Вопреки названию, серверы никуда не исчезли — просто теперь управление инфраструктурой перекладывается на плечи облачного. . .	Безопасность микросервисов с OAuth2 и OpenID Connect Jamaican 06.03.2025 С ростом популярности микросервисов растут и проблемы, связанные с их безопасностью. В отличие от монолитных приложений, где безопасность можно было обеспечить централизованно, микросервисная. . .	Структурное логирование в Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Представьте, что вы управляете сотней микросервисов в продакшн-среде. Внезапно один из сервисов начинает давать сбои, и вам нужно срочно выяснить причину. Вы открываете логи и видите бесконечные. . .	Предотвращение XSS, CSRF и SQL-инъекций в JavaScript bytestream 05.03.2025 В эпоху цифровизации безопасность веб-приложений становится не просто рекомендацией, а жизненной необходимостью. Если вы разрабатываете приложения на JavaScript, вам наверняка знакома эта. . .

@Klaron 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.04.2016 Сообщений: 8
		1
	Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000 05.05.2017, 07:23. Показов 1842. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Для натуральных чисел a и b операцию # определим так: a # b = a - b + a mod b. Найти пары чисел, для которых a # b = b # a. Добавлено через 3 минуты Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у, либо, если числа равны, равен нулю. 0

@Matan! 1882 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 09:57	2
	Сообщение от Klaron Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Неправильные пары.. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:28	3
	Сообщение было отмечено Klaron как решение Решение Сообщение от Klaron Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10. 1) Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Имеем^ a-b+a mod b=b-a+b mod a 3a-2b= b mod a $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \left{\frac{b}{a} \right}=3a-2b \: \left(:a \right)\\\left{\frac{b}{a} \right}=3-\frac{2b}{a}\\$ Обозначив дробь внутри функции дробной части {...} за х>1, получаем уравнение с целыми частями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\left[x \right]=3-2x \: \Rightarrow \: \left[x \right]=3x-3$ Если целая часть равна n (целое число от 0 и выше), то получаем систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}n\leq x<n+1\\ x=\frac{n}{3}+1 \end{cases} \: \Rightarrow \: n-? \: : \: n\leq \frac{n}{3}+1 <n+1 \: \Rightarrow \: 0<n\leq \frac{3}{2} \: \Rightarrow \: n=1$ Т.е. целая часть дроби b/a равна только 1, откуда, учитывая равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{n}{3}+1$ , получаем саму дробь: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{4}{3}$ . Т.е. b:a=4:3 2) a=b, тогда оба остатка равны по 0, и получаем a-b=b-a, откуда a=b. Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(a;b \right) \in \left{\left(4k;3k \right),\; \left(3k;4k \right), \;\left(k;k \right), \: k \in \mathbb{N}\right}$ 2

@Matan! 1882 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 14:34	4
	jogano, а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b? Добавлено через 36 секунд Почему он ушёл в а, а не в 1? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:37	5
	Сообщение от Matan! а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b? Сообщение от jogano a mod b = a Сообщение от Matan! Почему он ушёл в а, а не в 1? Не понял вопрос. 0

@Matan! 1882 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 14:49	6
	Как из этого Сообщение от jogano Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Вот этот момент не до конца ясен.. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:57	7
	Ну как... При a<b (5<7; 10<14) 5 mod 7 = 5; 10 mod 14 = 10; А b mod a это 7 mod 5 = 2 (число от 0 до 4); 14 mod 10 = 4 (число от 0 до 9). В Экселе это функция =ОСТАТ(делимое;делитель) 0

@Matan! 1882 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 15:18	8
	Сорри пора мне учить матчасть.. 0

@Klaron 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.04.2016 Сообщений: 8
	11.05.2017, 08:41 [ТС]	9
	Сообщение от jogano Сообщение от Klaron Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10. Я имел в виду подходящие числа) 4mod3 = 1, НОД(4,3) =1. 20 mod 15 = 5, НОД(20,15) = 5. Спасибо за ответ! 0

Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000

Решение