Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000

@Klaron · Регистрация: 11.04.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Для натуральных чисел a и b операцию # определим так:
a # b = a - b + a mod b.
Найти пары чисел, для которых a # b = b # a.

Добавлено через 3 минуты
Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у, либо, если числа равны, равен нулю.

@Matan! · 05.05.2017, 09:57

Сообщение от Klaron

Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20.

Неправильные пары..

@jogano · 05.05.2017, 14:28

Сообщение от Klaron

Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у

Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10.
1) Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Имеем^
a-b+a mod b=b-a+b mod a
3a-2b= b mod a
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \left{\frac{b}{a} \right}=3a-2b \: \left(:a \right)\\\left{\frac{b}{a} \right}=3-\frac{2b}{a}\\$
Обозначив дробь внутри функции дробной части {...} за х>1, получаем уравнение с целыми частями
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\left[x \right]=3-2x \: \Rightarrow \: \left[x \right]=3x-3$
Если целая часть равна n (целое число от 0 и выше), то получаем систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}n\leq x<n+1\\ x=\frac{n}{3}+1 \end{cases} \: \Rightarrow \: n-? \: : \: n\leq \frac{n}{3}+1 <n+1 \: \Rightarrow \: 0<n\leq \frac{3}{2} \: \Rightarrow \: n=1$
Т.е. целая часть дроби b/a равна только 1, откуда, учитывая равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{n}{3}+1$ , получаем саму дробь: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{4}{3}$ . Т.е. b:a=4:3
2) a=b, тогда оба остатка равны по 0, и получаем a-b=b-a, откуда a=b.
Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(a;b \right) \in \left{\left(4k;3k \right),\; \left(3k;4k \right), \;\left(k;k \right), \: k \in \mathbb{N}\right}$

@Matan! · 05.05.2017, 14:34

jogano, а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b?

Добавлено через 36 секунд
Почему он ушёл в а, а не в 1?

@jogano · 05.05.2017, 14:37

Сообщение от Matan!

а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b?

Сообщение от jogano

a mod b = a

Сообщение от Matan!

Почему он ушёл в а, а не в 1?

Не понял вопрос.

@Matan! · 05.05.2017, 14:49

Как из этого

Сообщение от jogano

Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1.

Вот этот момент не до конца ясен..

@jogano · 05.05.2017, 14:57

Ну как...
При a<b (5<7; 10<14) 5 mod 7 = 5; 10 mod 14 = 10;
А b mod a это 7 mod 5 = 2 (число от 0 до 4); 14 mod 10 = 4 (число от 0 до 9).
В Экселе это функция =ОСТАТ(делимое;делитель)

@Matan! · 05.05.2017, 15:18

Сорри

пора мне учить матчасть..

@Klaron · 11.05.2017, 08:41 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Сообщение от Klaron
Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у
Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10.

Я имел в виду подходящие числа) 4mod3 = 1, НОД(4,3) =1. 20 mod 15 = 5, НОД(20,15) = 5.

Спасибо за ответ!

Новые блоги и статьи
Проектирование и моделирование hw_wired 28.01.2025 Введение в моделирование Моделирование представляет собой один из фундаментальных методов научного познания, который позволяет изучать объекты и явления через создание их упрощенных аналогов. В. . .	Алгоритмы и исполнители hw_wired 28.01.2025 Введение в алгоритмы В современном мире информационных технологий алгоритмы играют основополагающую роль в решении различных задач и автоматизации процессов. Алгоритм представляет собой точную. . .	Хранение информации hw_wired 28.01.2025 Введение: Роль систем хранения информации в современном мире В современную эпоху цифровых технологий эффективное хранение информации становится одним из ключевых факторов успешного развития любой. . .	Обработка числовой информации hw_wired 28.01.2025 Введение в обработку числовой информации В современном мире обработка числовой информации стала неотъемлемой частью как профессиональной деятельности, так и повседневной жизни. Электронные таблицы. . .	Мультимедиа hw_wired 28.01.2025 Введение в мультимедийные технологии В современном мире мультимедийные технологии стали неотъемлемой частью нашей жизни, проникнув во все сферы человеческой деятельности. Термин "мультимедиа". . .	Обработка текстовой информации hw_wired 28.01.2025 Введение в обработку текстовой информации В современном мире обработка текстовой информации играет фундаментальную роль в различных сферах человеческой деятельности. Текстовые редакторы стали. . .
Обработка графической информации hw_wired 28.01.2025 Введение в компьютерную графику Компьютерная графика стала неотъемлемой частью современного цифрового мира, пройдя впечатляющий путь развития от простейших черно-белых изображений до сложных. . .	Python в Алгоритмике: Решение задач hw_wired 28.01.2025 Введение в Python и Алгоритмику В современном мире программирование стало неотъемлемой частью образования и профессионального развития. Python зарекомендовал себя как один из самых популярных и. . .	Компьютер как универсальное устройство для работы с информацией hw_wired 28.01.2025 Введение в устройство компьютера Компьютер представляет собой универсальное электронное устройство, предназначенное для автоматической обработки информации. В современном мире компьютер стал. . .	Информация и информационные процессы hw_wired 28.01.2025 Понятие информации и ее виды В современном мире информация является одним из фундаментальных понятий, пронизывающих все сферы человеческой деятельности. Под информацией понимают любые сведения об. . .	Алгоритмика hw_wired 28.01.2025 Введение: Основы алгоритмики и её роль в информатике В современном мире программирование и алгоритмическое мышление стали неотъемлемой частью образования и профессиональной деятельности. . . .	Информационное моделирование hw_wired 28.01.2025 Введение в информационное моделирование В современном мире информационное моделирование стало неотъемлемой частью научной, образовательной и профессиональной деятельности. Это мощный инструмент. . .

@Klaron 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.04.2016 Сообщений: 8
		1
	Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000 05.05.2017, 07:23. Показов 1825. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Для натуральных чисел a и b операцию # определим так: a # b = a - b + a mod b. Найти пары чисел, для которых a # b = b # a. Добавлено через 3 минуты Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у, либо, если числа равны, равен нулю. 0

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 09:57	2
	Сообщение от Klaron Например 4 и 3, 12 и 16, 15 и 20. Неправильные пары.. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:28	3
	Сообщение было отмечено Klaron как решение Решение Сообщение от Klaron Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10. 1) Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Имеем^ a-b+a mod b=b-a+b mod a 3a-2b= b mod a $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \left{\frac{b}{a} \right}=3a-2b \: \left(:a \right)\\\left{\frac{b}{a} \right}=3-\frac{2b}{a}\\$ Обозначив дробь внутри функции дробной части {...} за х>1, получаем уравнение с целыми частями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-\left[x \right]=3-2x \: \Rightarrow \: \left[x \right]=3x-3$ Если целая часть равна n (целое число от 0 и выше), то получаем систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}n\leq x<n+1\\ x=\frac{n}{3}+1 \end{cases} \: \Rightarrow \: n-? \: : \: n\leq \frac{n}{3}+1 <n+1 \: \Rightarrow \: 0<n\leq \frac{3}{2} \: \Rightarrow \: n=1$ Т.е. целая часть дроби b/a равна только 1, откуда, учитывая равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{n}{3}+1$ , получаем саму дробь: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{4}{3}$ . Т.е. b:a=4:3 2) a=b, тогда оба остатка равны по 0, и получаем a-b=b-a, откуда a=b. Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(a;b \right) \in \left{\left(4k;3k \right),\; \left(3k;4k \right), \;\left(k;k \right), \: k \in \mathbb{N}\right}$ 2

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 14:34	4
	jogano, а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b? Добавлено через 36 секунд Почему он ушёл в а, а не в 1? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:37	5
	Сообщение от Matan! а куда после a-b+a mod b=b-a+b mod a делся a mod b? Сообщение от jogano a mod b = a Сообщение от Matan! Почему он ушёл в а, а не в 1? Не понял вопрос. 0

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 14:49	6
	Как из этого Сообщение от jogano Пусть a<b. Тогда a mod b = a; b mod a - какое-то число от 0 до a-1. Вот этот момент не до конца ясен.. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.05.2017, 14:57	7
	Ну как... При a<b (5<7; 10<14) 5 mod 7 = 5; 10 mod 14 = 10; А b mod a это 7 mod 5 = 2 (число от 0 до 4); 14 mod 10 = 4 (число от 0 до 9). В Экселе это функция =ОСТАТ(делимое;делитель) 0

@Matan! 1437 / 1014 / 228 Регистрация: 31.05.2013 Сообщений: 6,645 Записей в блоге: 6
	05.05.2017, 15:18	8
	Сорри пора мне учить матчасть.. 0

@Klaron 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.04.2016 Сообщений: 8
	11.05.2017, 08:41 [ТС]	9
	Сообщение от jogano Сообщение от Klaron Их остаток при делении наибольшего числа равен НОД'у Не НОД'у: 100 mod 10 = 0 - остаток от деления. НОД(100;10)=10. Я имел в виду подходящие числа) 4mod3 = 1, НОД(4,3) =1. 20 mod 15 = 5, НОД(20,15) = 5. Спасибо за ответ! 0

Найти все такие пары чисел a и b, не превосходящие 1000

Решение