Доказать, что множества чисел бесконечны

@NRX · Регистрация: 22.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого либо утверждения. Как доказать задачки из учебника? Мне не понятно с чего начать.

Из учебника Кострикин А.И - Введение в Алгебру:

Каждое простое число имеет вид 4k+1 или 4k-1. Используя мультипликативность множества S = {4k+1|k=1,2,3,...} доказать бесконечность множества простых чисел вида 4k-1
Доказать, что существует бесконечно много простых чисел. Если n,m принадлежит Z, НОД(n,m)=1, и если p - простое числе делящее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2}+{m}^{2}$ , то p = 4k+1

@regio1961 · 13.12.2016, 14:18

Доказательство почти такое же, что и у Эратосфена для бесконечности всех простых.

От противного, предположим, что прогрессия чисел вида 4k - 1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 15, ...$

содержит лишь конечное число простых, а именно такие:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 19, \, \ldots , \, p_r \qquad (*)$

Рассмотрим число

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = 4(3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \ldots p_r ) \, - \, 1,$

которое, очевидно:

a) больше любого из простых вида (*) ;
b) не делится ни на одно этих чисел.

Следовательно, это число N, во-первых, составное, во-вторых, его простые делители имеют вид 4n + 1.
Но произведение чисел вида 4n + 1 имеет такой же вид.
Действительно, для 2-х чисел (Здесь мы пользуемся мультипликативностью множ. S)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (4k_1 + 1)(4k_2 + 1) = 16 k_1 k_2 + 4(k_1 + k_2 ) + 1 = 4(4k_1 k_2 + k_1 + k_2 ) + 1.<br />$

Для большего двух количества сомножителей — очевидное обобщение по индукции.
Таким образом, получено противоречие.
(Понятно, в чем противоречие?

)

@kabenyuk · 14.12.2016, 19:12

Сообщение от regio1961

что и у Эратосфена

Всегда считалось, что у Евклида. Или новые какие папирусы нашли?

@regio1961 · 14.12.2016, 19:17

Конечно, у Евклида. Склероз попутал...

@NRX 22 / 19 / 9 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 161
		1
	Доказать, что множества чисел бесконечны 09.12.2016, 22:57. Показов 6080. Ответов 3 Метки нет (Все метки) доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого либо утверждения. Как доказать задачки из учебника? Мне не понятно с чего начать. Из учебника Кострикин А.И - Введение в Алгебру: Каждое простое число имеет вид 4k+1 или 4k-1. Используя мультипликативность множества S = {4k+1\|k=1,2,3,...} доказать бесконечность множества простых чисел вида 4k-1 Доказать, что существует бесконечно много простых чисел. Если n,m принадлежит Z, НОД(n,m)=1, и если p - простое числе делящее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2}+{m}^{2}$ , то p = 4k+1 0

@regio1961 599 / 291 / 178 Регистрация: 06.06.2016 Сообщений: 552
	13.12.2016, 14:18	2
	Сообщение было отмечено NRX как решение Решение Доказательство почти такое же, что и у Эратосфена для бесконечности всех простых. От противного, предположим, что прогрессия чисел вида 4k - 1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 15, ...$ содержит лишь конечное число простых, а именно такие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 19, \, \ldots , \, p_r \qquad ()$ Рассмотрим число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = 4(3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \ldots p_r ) \, - \, 1,$ которое, очевидно: a) больше любого из простых вида () ; b) не делится ни на одно этих чисел. Следовательно, это число N, во-первых, составное, во-вторых, его простые делители имеют вид 4n + 1. Но произведение чисел вида 4n + 1 имеет такой же вид. Действительно, для 2-х чисел (Здесь мы пользуемся мультипликативностью множ. S) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (4k_1 + 1)(4k_2 + 1) = 16 k_1 k_2 + 4(k_1 + k_2 ) + 1 = 4(4k_1 k_2 + k_1 + k_2 ) + 1.<br />$ Для большего двух количества сомножителей — очевидное обобщение по индукции. Таким образом, получено противоречие. (Понятно, в чем противоречие? ) 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.12.2016, 19:12	3
	Сообщение от regio1961 что и у Эратосфена Всегда считалось, что у Евклида. Или новые какие папирусы нашли? 0

@regio1961 599 / 291 / 178 Регистрация: 06.06.2016 Сообщений: 552
	14.12.2016, 19:17	4
	Конечно, у Евклида. Склероз попутал... 0

Доказать, что множества чисел бесконечны

Решение