Доказать, что множества чисел бесконечны

@NRX · Регистрация: 22.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого либо утверждения. Как доказать задачки из учебника? Мне не понятно с чего начать.

Из учебника Кострикин А.И - Введение в Алгебру:

Каждое простое число имеет вид 4k+1 или 4k-1. Используя мультипликативность множества S = {4k+1|k=1,2,3,...} доказать бесконечность множества простых чисел вида 4k-1
Доказать, что существует бесконечно много простых чисел. Если n,m принадлежит Z, НОД(n,m)=1, и если p - простое числе делящее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2}+{m}^{2}$ , то p = 4k+1

@regio1961 · 13.12.2016, 14:18

Доказательство почти такое же, что и у Эратосфена для бесконечности всех простых.

От противного, предположим, что прогрессия чисел вида 4k - 1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 15, ...$

содержит лишь конечное число простых, а именно такие:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 19, \, \ldots , \, p_r \qquad (*)$

Рассмотрим число

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = 4(3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \ldots p_r ) \, - \, 1,$

которое, очевидно:

a) больше любого из простых вида (*) ;
b) не делится ни на одно этих чисел.

Следовательно, это число N, во-первых, составное, во-вторых, его простые делители имеют вид 4n + 1.
Но произведение чисел вида 4n + 1 имеет такой же вид.
Действительно, для 2-х чисел (Здесь мы пользуемся мультипликативностью множ. S)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (4k_1 + 1)(4k_2 + 1) = 16 k_1 k_2 + 4(k_1 + k_2 ) + 1 = 4(4k_1 k_2 + k_1 + k_2 ) + 1.<br />$

Для большего двух количества сомножителей — очевидное обобщение по индукции.
Таким образом, получено противоречие.
(Понятно, в чем противоречие?

)

@kabenyuk · 14.12.2016, 19:12

Сообщение от regio1961

что и у Эратосфена

Всегда считалось, что у Евклида. Или новые какие папирусы нашли?

@regio1961 · 14.12.2016, 19:17

Конечно, у Евклида. Склероз попутал...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сайт компании Red-Star-Soft переехал на новый хостинг! Etyuhibosecyu 06.03.2025 Как и советовал Rius, я покинул хостинг от "Ru-Center" и перенес сайт red-star-soft. com на хостинг с более позитивными отзывами (спойлер: найти его было далеко не просто) (чтобы прочитать текст,. . .	Альтернативная сериализация в Java: сравнение Kryo, Protobuf и Avro Jamaican 06.03.2025 Сериализация — один из краеугольных процессов в Java-разработке. Превращение объектов в поток байтов для хранения или передачи по сети с последующим восстановлением звучит просто, но реализация этого. . .	Битва Java-кешей: Сравниваем Ehcache, Caffeine и Hazelcast Jamaican 06.03.2025 Производительность — вечный Святой Грааль для Java-разработчиков. Мы оптимизируем алгоритмы, настраиваем JVM, распараллеливаем процессы, но неизменно приходим к одному и тому же средству ускорения —. . .	Параметры подтверждения сообщения Kafka Jamaican 06.03.2025 Среди распределённых систем и высоконагруженных приложений Apache Kafka занимает особое место. Эта платформа потоковой обработки данных давно стала стандартом де-факто для организаций, которым. . .	Оптимизация времени запуска Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Вы когда-нибудь сидели, барабаня пальцами по столу, пока ваше Spring Boot приложение медленно поднимается? Этот момент, когда вы успеваете сходить за кофе, пообщаться с коллегами и вернуться, а. . .
Деплой Kubernetes в Java: масштабирование Spring Boot приложений Jamaican 06.03.2025 Когда ваше Spring Boot приложение внезапно получает всплеск трафика или требует плавного обновления без простоя — традиционные методы деплоя часто пасуют. Именно здесь на сцену выходит Kubernetes —. . .	Бессерверные приложения Java: сравнение AWS Lambda и Azure Functions Jamaican 06.03.2025 Что такое "бессерверные приложения" и почему они так привлекательны? Вопреки названию, серверы никуда не исчезли — просто теперь управление инфраструктурой перекладывается на плечи облачного. . .	Безопасность микросервисов с OAuth2 и OpenID Connect Jamaican 06.03.2025 С ростом популярности микросервисов растут и проблемы, связанные с их безопасностью. В отличие от монолитных приложений, где безопасность можно было обеспечить централизованно, микросервисная. . .	Структурное логирование в Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Представьте, что вы управляете сотней микросервисов в продакшн-среде. Внезапно один из сервисов начинает давать сбои, и вам нужно срочно выяснить причину. Вы открываете логи и видите бесконечные. . .	Предотвращение XSS, CSRF и SQL-инъекций в JavaScript bytestream 05.03.2025 В эпоху цифровизации безопасность веб-приложений становится не просто рекомендацией, а жизненной необходимостью. Если вы разрабатываете приложения на JavaScript, вам наверняка знакома эта. . .

@NRX 22 / 19 / 9 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 161
		1
	Доказать, что множества чисел бесконечны 09.12.2016, 22:57. Показов 6276. Ответов 3 Метки нет (Все метки) доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого либо утверждения. Как доказать задачки из учебника? Мне не понятно с чего начать. Из учебника Кострикин А.И - Введение в Алгебру: Каждое простое число имеет вид 4k+1 или 4k-1. Используя мультипликативность множества S = {4k+1\|k=1,2,3,...} доказать бесконечность множества простых чисел вида 4k-1 Доказать, что существует бесконечно много простых чисел. Если n,m принадлежит Z, НОД(n,m)=1, и если p - простое числе делящее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2}+{m}^{2}$ , то p = 4k+1 0

@regio1961 599 / 291 / 178 Регистрация: 06.06.2016 Сообщений: 552
	13.12.2016, 14:18	2
	Сообщение было отмечено NRX как решение Решение Доказательство почти такое же, что и у Эратосфена для бесконечности всех простых. От противного, предположим, что прогрессия чисел вида 4k - 1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 15, ...$ содержит лишь конечное число простых, а именно такие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3, \, 7, \, 11, \, 19, \, \ldots , \, p_r \qquad ()$ Рассмотрим число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N = 4(3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \ldots p_r ) \, - \, 1,$ которое, очевидно: a) больше любого из простых вида () ; b) не делится ни на одно этих чисел. Следовательно, это число N, во-первых, составное, во-вторых, его простые делители имеют вид 4n + 1. Но произведение чисел вида 4n + 1 имеет такой же вид. Действительно, для 2-х чисел (Здесь мы пользуемся мультипликативностью множ. S) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (4k_1 + 1)(4k_2 + 1) = 16 k_1 k_2 + 4(k_1 + k_2 ) + 1 = 4(4k_1 k_2 + k_1 + k_2 ) + 1.<br />$ Для большего двух количества сомножителей — очевидное обобщение по индукции. Таким образом, получено противоречие. (Понятно, в чем противоречие? ) 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.12.2016, 19:12	3
	Сообщение от regio1961 что и у Эратосфена Всегда считалось, что у Евклида. Или новые какие папирусы нашли? 0

@regio1961 599 / 291 / 178 Регистрация: 06.06.2016 Сообщений: 552
	14.12.2016, 19:17	4
	Конечно, у Евклида. Склероз попутал... 0

Доказать, что множества чисел бесконечны

Решение