Изоморфные алгебры

@Андрей1992 · Регистрация: 13.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Так понял из определения изоморфизма - это гомоморфизм с биекцией.
А гомоморфизм, по определению - функция f : M→P,
для всех a∈M выполняется условие:
f(φ(a))= ψ(f(a)) для любого i=1,2,3,4.
А вот, что делать дальше я в ступоре, как проверить гомоморфность с биекцией и найти изоморфизм.

@DeadPenguin · 22.03.2016, 22:26

Андрей1992, чтобы не проверять большое число вариантов, заметим, что в обоих алгебрах есть два элемента, квадраты которых совпадают с ними: a1, a4 и b1, b2. При изоморфизме это свойство должно сохраняться. Итак, рассматриваем варианты.

1) a1 -> b1, a4 -> b2. a1*a4 = a4 -> b2, b1*b2 = b3. Не подходит

2) a1 -> b2, a4 -> b1. a1*a4 = a4 -> b1, b2*b1 = b1. А вот это подошло.

Идём далее. a4*a1 = a3, b1*b2=b3. Значит, a3 -> b3. Тогда a2 -> b4. Итак, a1 -> b2, a2 -> b4, a3 -> b3, a4 -> b1.

Теперь проверяйте по таблице, будет ли это изоморфизмом.

@Андрей1992 0 / 0 / 1 Регистрация: 13.06.2012 Сообщений: 60
		1
	Изоморфные алгебры 22.03.2016, 22:07. Показов 1743. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Так понял из определения изоморфизма - это гомоморфизм с биекцией. А гомоморфизм, по определению - функция f : M→P, для всех a∈M выполняется условие: f(φ(a))= ψ(f(a)) для любого i=1,2,3,4. А вот, что делать дальше я в ступоре, как проверить гомоморфность с биекцией и найти изоморфизм. 0

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	22.03.2016, 22:26	2
	Сообщение было отмечено Андрей1992 как решение Решение Андрей1992, чтобы не проверять большое число вариантов, заметим, что в обоих алгебрах есть два элемента, квадраты которых совпадают с ними: a1, a4 и b1, b2. При изоморфизме это свойство должно сохраняться. Итак, рассматриваем варианты. 1) a1 -> b1, a4 -> b2. a1a4 = a4 -> b2, b1b2 = b3. Не подходит 2) a1 -> b2, a4 -> b1. a1a4 = a4 -> b1, b2b1 = b1. А вот это подошло. Идём далее. a4a1 = a3, b1b2=b3. Значит, a3 -> b3. Тогда a2 -> b4. Итак, a1 -> b2, a2 -> b4, a3 -> b3, a4 -> b1. Теперь проверяйте по таблице, будет ли это изоморфизмом. 1

Изоморфные алгебры

Решение