Доказать, что выполняется равенство для всех элементов поля

@arasida · Регистрация: 11.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужна помощь в доказательстве. самого не выходит.
Нужно доказать, что если выполняется равенство xⁿ=x для всех элементов x поля K, то поле K конечно, и его характеристика делит n.
Мое решение такое: если все элементы поля удовлетворяют уравнению xⁿ=0, то так как оно имеет не более n решений и все элементы поля К удовлетворяют уравнению, то К конечно. Тогда пусть p^k-порядок поля K, тогда уравнение x^{p^k}-1=1 задает мультипликативную группу поля. Если рассмотреть уравнение x^n-1=1, то элементы мультипликативной группы удовлетворяют ему => x^{p^k-1}-1 делит x^n-1-1 => p^k-1 делит n-1. Дальше нужно доказать, что отсюда следует делимость n на p, но как это получается, непонятно.

@kabenyuk · 28.12.2015, 05:51

arasida, смотрите здесь

@arasida 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.12.2015 Сообщений: 7
		1
	Доказать, что выполняется равенство для всех элементов поля 27.12.2015, 19:40. Показов 1266. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Нужна помощь в доказательстве. самого не выходит. Нужно доказать, что если выполняется равенство xⁿ=x для всех элементов x поля K, то поле K конечно, и его характеристика делит n. Мое решение такое: если все элементы поля удовлетворяют уравнению xⁿ=0, то так как оно имеет не более n решений и все элементы поля К удовлетворяют уравнению, то К конечно. Тогда пусть p^k-порядок поля K, тогда уравнение x^{p^k}-1=1 задает мультипликативную группу поля. Если рассмотреть уравнение x^n-1=1, то элементы мультипликативной группы удовлетворяют ему => x^{p^k-1}-1 делит x^n-1-1 => p^k-1 делит n-1. Дальше нужно доказать, что отсюда следует делимость n на p, но как это получается, непонятно. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 919 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	28.12.2015, 05:51	2
	arasida, смотрите здесь 0