Матрицы линейных преобразований

@Eru Iluvatar · 13.04.2014, 22:30. **Показов** 2294. **Ответов** 11

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите разобраться в задаче.
Преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ в базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1} = (-3, 7), {a}_{2} = (1, -2)$ имеет матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}2 & -1\\ 5 & -3\end{pmatrix}$ , а преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi$ в базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{1} = (6, -7), {b}_{2} = (-5, 6)$ имеет матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{pmatrix}$ . Найти матрицу преобразования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \psi$ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

Как определить базис, в котором даны векторы?

@Mysterious Light · 14.04.2014, 00:13

Очевидно, это (1,0) и (0,1). Ведь записьозначается ничто иное, как , а сам базисный вектор e1 выражается через себя тривиально: .

@kabenyuk · 14.04.2014, 06:46

Сообщение от Eru Iluvatar

Как определить базис, в котором даны векторы?

Сообщение от Mysterious Light

Очевидно, это (1,0) и (0,1).

Хотя это и не имеет значения, но позволю не согласиться с вами. Базис, в котором заданы координаты всех векторов, абсолютно произволен и его нет необходимости знать. Важно только то, что матрицы перехода от этого базиса к базисам а и b определяется по координатам векторов, входящих в эти последние базисы.

@helter · 14.04.2014, 11:30

Сообщение от kabenyuk

Хотя это и не имеет значения, но позволю не согласиться с вами.

А с чем тут не соглашаться - с тем, что (1, 0), (0, 1) - базис? Или с тем, что это очевидно?

Я тоже позволю себе не согласиться ни с кем. Во-первых, чтобы задавать векторы, базис необязателен. Во-вторых, если не оговорено противное, наборы из n чисел я отождествляю с элементами n-мерного арифметического пространства (т. е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^n$ ), потому как арифметическое пространство - это и есть пространство наборов чисел.

@kabenyuk · 14.04.2014, 15:21

Сообщение от helter

А с чем тут не соглашаться - с тем, что (1, 0), (0, 1) - базис? Или с тем, что это очевидно?

Ни с тем и не с другим. А с тем, что базис, в котором заданы координаты векторов нашей задачи - это очевидно (1,0) и (0,1). И только.

@helter · 14.04.2014, 18:17

В задаче векторы из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ заданы вообще безо всяких базисов, а сами собой - как упорядоченные наборы из двух чисел, которые назовём компонентами векторов. Так уж выходит, что компоненты векторов из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ очевидно являются их координатами в базисе (1, 0), (0, 1) и вообще говоря не являются координатами в других базисах.

@kabenyuk · 16.04.2014, 09:46

Сообщение от helter

В задаче векторы из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ заданы вообще безо всяких базисов, а сами собой

@helter · 17.04.2014, 18:37

Что вы удивляетесь? Не помните определение декартова произведения? Арифметическое пространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^n$ - это множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел с операциями бла-бла-бла. У ТС как раз и фигурируют упорядоченные пары чисел, то есть элементы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ в чистом виде, без каких-либо базисов и вообще. Вообще, что в них такого сакрального, в базисах, зачем их обязательно привлекать? Вон, в бесконечномерных пространствах живут люди без базисов и ничего.

@Mysterious Light · 17.04.2014, 19:04

Вставлю свой пятак:

helter понимает запись буквально: данная переменная является парой, и из этого он делает вывод, что рассматриваемое пространство есть пространство всевозможных пар, что явно ТС не сказал, но многовероятно подразумевал.

Я предполагал, что под этой фразой кроется смысл смысл «в двумерном пространстве выбран базис, и в этом базисе вектор имеет такие-то координаты», то есть понимается не буквально, а иносказательно. Такое положение дел обычно на практике (а тензоры вообще набором чисел описываются), к тому же такое понимание расширяет область применимости результатов этой задачи с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R}^2$ на все двумерные пространства.

У helter более формальная позиция, поэтому лучше бы принять его сторону. Единственное не понятно мне, как он предлагает понимать фразу «в том базисе, в котором даны координаты всех векторов», написанную в первом посте, если координаты всех векторов не задавались, поскольку по helter эти векторы заданы своим значением, а не разложением по какому-либо базису. Единственный мне видится путь решения — утвердить наличие естественного базиса (1,0) и (0,1) в силу того, что каждый вектор-как-пара в таком случае будет совпадать с парой его координат, однако для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R}^2$ -как-пространства этот базис не более выделен, чем все другие. К слову, в таком случае в задании было бы сказано «в естественно базисе» вместо «в том базисе, в котором даны координаты всех векторов». Так что такая позиция мне кажется неубедительной.

@helter · 17.04.2014, 19:33

Сообщение от Mysterious Light

Такое положение дел обычно на практике

Во как... Спорить не буду, потому что не знаю, как в чьих практиках принято. Конечно, я в курсе, что иногда пишут в скобках набор координат вектора, который сам может принадлежать чёрт-разбери-какому-да-и-неважно пространству (а то ещё в фигурных), но по моему представлению это не есть универвальное общематематическое обозначение. Имхо скорее скажут "введём в нашем пространстве такой-то базис и отождествим его (пространство) с эр-эн". А вот обозначать скобками упорядоченные наборы - это вполне универсально и общематематически, поэтому я ~~по умолчанию~~ если не оговорено противное, придерживаюсь его.

Кстати, в Проскурякове емнип тоже подобные формулировки есть.

Что касается тензоров, мне кажется, это не совсем к месту. Конечно, тензоры обычно задаются наборами чисел, но скобочные обозначения же к ним не применишь, если, скажем, валентность > 2.

Но про "в том базисе" я действительно просмотрел. Так что даже не знаю. Будь я компом, выдал бы parsing error. Да всё равно мы воду в ступе толчём...

@kabenyuk · 18.04.2014, 08:19

Сообщение от helter

Вон, в бесконечномерных пространствах живут люди без базисов и ничего.

Базис Гамеля не обижайте.

@helter · 18.04.2014, 15:11

Базис Гамеля - да кому он нужен. Полные ортонормированные системы - другое дело.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .

@Eru Iluvatar Заблокирован

	Матрицы линейных преобразований 13.04.2014, 22:30. Показов 2294. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Помогите разобраться в задаче. Преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ в базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1} = (-3, 7), {a}_{2} = (1, -2)$ имеет матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}2 & -1\\ 5 & -3\end{pmatrix}$ , а преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi$ в базисе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{1} = (6, -7), {b}_{2} = (-5, 6)$ имеет матрицу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 7\end{pmatrix}$ . Найти матрицу преобразования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \psi$ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов. Как определить базис, в котором даны векторы? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4302 / 2093 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,163 Записей в блоге: 24
	14.04.2014, 00:13
	Очевидно, это (1,0) и (0,1). Ведь записьозначается ничто иное, как , а сам базисный вектор e1 выражается через себя тривиально: . 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.04.2014, 06:46
	Сообщение от Eru Iluvatar Как определить базис, в котором даны векторы? Сообщение от Mysterious Light Очевидно, это (1,0) и (0,1). Хотя это и не имеет значения, но позволю не согласиться с вами. Базис, в котором заданы координаты всех векторов, абсолютно произволен и его нет необходимости знать. Важно только то, что матрицы перехода от этого базиса к базисам а и b определяется по координатам векторов, входящих в эти последние базисы. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.04.2014, 11:30
	Сообщение от kabenyuk Хотя это и не имеет значения, но позволю не согласиться с вами. А с чем тут не соглашаться - с тем, что (1, 0), (0, 1) - базис? Или с тем, что это очевидно? Я тоже позволю себе не согласиться ни с кем. Во-первых, чтобы задавать векторы, базис необязателен. Во-вторых, если не оговорено противное, наборы из n чисел я отождествляю с элементами n-мерного арифметического пространства (т. е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^n$ ), потому как арифметическое пространство - это и есть пространство наборов чисел. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.04.2014, 15:21
	Сообщение от helter А с чем тут не соглашаться - с тем, что (1, 0), (0, 1) - базис? Или с тем, что это очевидно? Ни с тем и не с другим. А с тем, что базис, в котором заданы координаты векторов нашей задачи - это очевидно (1,0) и (0,1). И только. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	14.04.2014, 18:17
	В задаче векторы из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ заданы вообще безо всяких базисов, а сами собой - как упорядоченные наборы из двух чисел, которые назовём компонентами векторов. Так уж выходит, что компоненты векторов из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ очевидно являются их координатами в базисе (1, 0), (0, 1) и вообще говоря не являются координатами в других базисах. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	16.04.2014, 09:46
	Сообщение от helter В задаче векторы из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ заданы вообще безо всяких базисов, а сами собой 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	17.04.2014, 18:37
	Что вы удивляетесь? Не помните определение декартова произведения? Арифметическое пространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^n$ - это множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел с операциями бла-бла-бла. У ТС как раз и фигурируют упорядоченные пары чисел, то есть элементы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^2$ в чистом виде, без каких-либо базисов и вообще. Вообще, что в них такого сакрального, в базисах, зачем их обязательно привлекать? Вон, в бесконечномерных пространствах живут люди без базисов и ничего. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4302 / 2093 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,163 Записей в блоге: 24
	17.04.2014, 19:04
	Вставлю свой пятак: helter понимает запись буквально: данная переменная является парой, и из этого он делает вывод, что рассматриваемое пространство есть пространство всевозможных пар, что явно ТС не сказал, но многовероятно подразумевал. Я предполагал, что под этой фразой кроется смысл смысл «в двумерном пространстве выбран базис, и в этом базисе вектор имеет такие-то координаты», то есть понимается не буквально, а иносказательно. Такое положение дел обычно на практике (а тензоры вообще набором чисел описываются), к тому же такое понимание расширяет область применимости результатов этой задачи с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R}^2$ на все двумерные пространства. У helter более формальная позиция, поэтому лучше бы принять его сторону. Единственное не понятно мне, как он предлагает понимать фразу «в том базисе, в котором даны координаты всех векторов», написанную в первом посте, если координаты всех векторов не задавались, поскольку по helter эти векторы заданы своим значением, а не разложением по какому-либо базису. Единственный мне видится путь решения — утвердить наличие естественного базиса (1,0) и (0,1) в силу того, что каждый вектор-как-пара в таком случае будет совпадать с парой его координат, однако для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R}^2$ -как-пространства этот базис не более выделен, чем все другие. К слову, в таком случае в задании было бы сказано «в естественно базисе» вместо «в том базисе, в котором даны координаты всех векторов». Так что такая позиция мне кажется неубедительной. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	17.04.2014, 19:33
	Сообщение от Mysterious Light Такое положение дел обычно на практике Во как... Спорить не буду, потому что не знаю, как в чьих практиках принято. Конечно, я в курсе, что иногда пишут в скобках набор координат вектора, который сам может принадлежать чёрт-разбери-какому-да-и-неважно пространству (а то ещё в фигурных), но по моему представлению это не есть универвальное общематематическое обозначение. Имхо скорее скажут "введём в нашем пространстве такой-то базис и отождествим его (пространство) с эр-эн". А вот обозначать скобками упорядоченные наборы - это вполне универсально и общематематически, поэтому я ~~по умолчанию~~ если не оговорено противное, придерживаюсь его. Кстати, в Проскурякове емнип тоже подобные формулировки есть. Что касается тензоров, мне кажется, это не совсем к месту. Конечно, тензоры обычно задаются наборами чисел, но скобочные обозначения же к ним не применишь, если, скажем, валентность > 2. Но про "в том базисе" я действительно просмотрел. Так что даже не знаю. Будь я компом, выдал бы parsing error. Да всё равно мы воду в ступе толчём... 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4183 / 3051 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	18.04.2014, 08:19
	Сообщение от helter Вон, в бесконечномерных пространствах живут люди без базисов и ничего. Базис Гамеля не обижайте. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	18.04.2014, 15:11
	Базис Гамеля - да кому он нужен. Полные ортонормированные системы - другое дело. 0