@kozlik_kozlik

Есть задача: определить, когда равнодействующая сил, приложенных к грузу математического маятника, максимальна. Правильный ответ - при прохождении положения равновесия. Как это обосновать?

0

@Hant

При прохождении равновесия, все силы направлены вдоль одной прямой. Вектор всегда больше своей проекции.

0

@kozlik_kozlik

И в разные стороны по одной прямой. Не катит.
Сила натяжения при этом максимальна, но суммарная сила, которая в проекции на ось вверх даёт T-mg, непонятно как соотносится с промежуточными значениями хотя бы центростремительной силы, которые равны T-mg*cos(alpha). T меньше, но и вычитается меньшая величина. А ещё ведь если сила тангенциальная, которая в положении равновесия равна 0 и которую тоже надо учитывать, по-хорошему...

Добавлено через 7 минут
*пардон, в последнем предложении опечатка: не "если сила тангенциальная", а "есть сила тангенциальная".

0

@Hant

Т=mg+mV²/R
Внизу V-максимальная.
Во всех остальных случаях Т меньше.

0

@kozlik_kozlik

T не равнодействующая, про силу тяжести не забывай.

T=mg*cos(alpha)+mV^2/R. Формула из твоего сообщения годится только для точки равновесия.

0

@Hant

Вопрос: есть три уравновешенных силы 3Н, 4Н, 5Н. Которая равнодействующая?

Добавлено через 1 минуту
Так ты про неё и спрашиваешь.

0

@kozlik_kozlik

Нужно показать, что в точке равновесия максимальна равнодействующая сил. Равнодействующая, не одна только сила натяжения нити.

0

@Hant

И сколько по-твоему бывает равнодействующих сил? (1, 2, 3 или n?)

0

@kozlik_kozlik

Что означает "При прохождении равновесия, все силы направлены вдоль одной прямой. Вектор всегда больше своей проекции"? Какой вектор, проекции на что?

0

@kozlik_kozlik

Пусть заданы скорость v при прохождении положения равновесия и длина нити L. Запишем равнодействующую в точке равновесия, она равна mv^2/L. Будем сравнивать её с силой в момент прохождения точки наибольшего отклонения, которая равна mgLsin(alpha)=mgx/L, где alpha - угол наибольшего отклонения, x - наибольшее отклонение по горизонтали. Итого имеем сравнение mv^2/L V mgx/L (V - не определённый пока знак неравенства, окда?). Можно сократить массу и длину, получим v^2 V gx. Возводим в квадрат (справа и слева величины неотрицательные - значит, можно): v^4 V g^2 x^2.

Закон сохранения энергии: mgy=mv^2/2, где y - наибольшая высота, v - наибольшая скорость (она же в положении равновесия). Отсюда y=v^2/2g. Теорема Пифагора для нити: L^2=x^2+(L-y)^2, отсюда x^2=2Ly-y^2. Подставляем сюда выражение для y из закона сохранения энергии и получаем x^2=v^2 (L/g-v^2/(4g^2)). Подставляем в неравенство, делаем всё, чтобы слева была только скорость, а справа всё остальное, и получаем: v^2 V 4/5Lg. Получим следующее: РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ В ТОЧКЕ РАВНОВЕСИЯ БОЛЬШЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ В ВЕРХНИХ ТОЧКАХ, ТОЛЬКО ЕСЛИ МАКСИМАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ БОЛЬШЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ЗНАЧЕНИЯ, а именно v>sqrt(4/5 Lg). Если пнуть слишком слабо, РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ В НИЖНЕЙ ТОЧКЕ МАКСИМАЛЬНОЙ НЕ БУДЕТ. И либо у меня в вычислениях ошибка, либо задача составлена неправильно. Кто-нибудь может прокомментировать моё решение, верно оно или нет?

Апд. Небольшая опечатка, сила в верхних точках равна не mgLsin(alpha), а mgsin(alpha), конечно же. Но на вычисления это не повлияло. И я тут картинку нарисовал, чтобы было меньше вопросов с геометрией.

Прокомментируйте кто-нибудь моё решение пжл., прав я или нет

Изображения

 

0

KuKu

Максимум модуля вектора, тогда, когда косинус = 1 или -1. Это происходит при t = 0 и t = пи/w
В это время маятник, который ходит по закону косинуса, находится в максимальном отклонении.

1

@kozlik_kozlik

KuKu, во-первых, синус, а во-вторых, про тангенциальную составляющую забыли. А она есть.

0

KuKu

Тут просто даже слов нет
В моем решении нет вообще нормальной и тангенциальной составляющих - там только полное ускорение. Так что ее сложно было где-то забыть.

0

@kozlik_kozlik

Действительно слов нет. Если брать горизонтальную ось, традиционно имеющую начало в точке равновесия и нормальное начало отсчёта для времени, то косинус получится для угла отклонения, конечно же... По-вашему, надо делать так, чтобы все формулы были максимально неудобны. Вопрос - зачем? Но то ладно, другой момент гораздо интереснее:

Полным ускорением это никак быть не может, последняя формула - только для тангенциального. Сами посудите: возьмём в пример равномерное движение по окружности, первая производная угла по времени постоянна, вторая равна нулю. По-вашему, и полное ускорение будет равно нулю, хотя очевидно, что это не так и оно равно v^2/R.

Да, пардон, я ошибся: забыли не тангенциальную составляющую (это она и есть), а нормальную. Но всё равно у вас неправильно же.


Добавлено через 25 минут
Если кому интересно, чем кончилось: задача составлена неправильно, и в точке равновесия никакого максимума равнодействующей нет, что доказано в одном из моих сообщений.

0

Памирыч

	Комментарий модератора
	Относитесь друг к другу более уважительнее и терпимее, пожалуйста

0

@kozlik_kozlik

Кому надо, более изящное доказательство того, что равнодействующая сила в нижней точке не максимальна.
В точке максимального отклонения отсутствует центростремительная сила (т.к. скорость равна 0) и есть только тангенциальная, которая равна проекции силы тяжести на радиальную ось: , где - тангенциальное ускорение, - угол наибольшего отклонения, A - амплитуда отклонения по горизонтали, L - длина нити.
Найдём амплитуду скорости. Для этого продифференцируем горизонтальную координату по времени (получим, вообще говоря, горизонтальную составляющую скорости, но её амплитуда совпадает с максимальной скоростью, потому что в точке равновесия, когда скорость максимальна, она направлена по горизонтали): . Максимальная скорость, она же амплитуда, равна коэффициенту при косинусе, возьмём значение угловой скорости для математического маятника и получим .
Теперь возьмём значение равнодействующей силы в момент прохождения точки равновесия. Тангенциальная составляющая отсутствует (проецируем силы на тангенциальное направление и видим это), есть только центростремительная сила. Подставляем значение максимальной скорости:
Считаем отношения сил и получаем, что . Понятно, что амплитуда отклонения по горизонтали меньше длины нити (а в случае рассматриваемых малых колебаний НАМНОГО меньше), поэтому равнодействующая в точке наибольшего удаления больше таковой в точке равновесия. Никакого максимума равнодействующей в точке равновесия, таким образом, быть не может.

0