Наибольшее и наименьшее значение функции на круге

@DmitryM5 · Регистрация: 27.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер!
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z={x}^{2}-xy+{y}^{2}-4x$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(x-1)}^{2}+{y}^{2}<=4$

Я нашел стационарную точку M(4/3,8/3) , но она не принадлежит области круга.

Далее нужна искать точки на границах и для них уже смотреть.
Пытался выразить y из уравнения окружности и подставлять в z, но что то там запутался и корни странные получаться в дальнейшем. Еще нашел метод Лагранжа, но x и y просто через лямбду не получается выразить и я остановился..
Ссылка на метод Лагранжа как в примере.. http://math1.ru/education/func... xmin2.html

Подскажите пожалуйста что делать?

@palva · 15.12.2017, 20:27

Надо как-то определиться. Вам же дали задачу не для того, чтобы вы просто получили ответ. Нужно решить ее определенным методом, о котором вам перед этим рассказывали на лекциях или на занятиях. Поэтому странно читать

Сообщение от DmitryM5

Еще нашел метод Лагранжа

У вас, значит, не было метода Лагранжа, раз пришлось его искать. Тогда для его применения к этой задаче вам придется его обосновать в ходе решения. Без метода Лагранжа можно задать окружность параметрически. Тогда задача сведется к одномерному случаю. Но вы уж расскажите, какими методами вас учили решать такие задачи.

@DmitryM5 · 15.12.2017, 20:30 **[ТС]**

palva, Я такое не проходил, это решаю человеку) Думаю он тоже вряд ли знает что они проходили)))
Тогда просто вопрос, что делать далее и как лучше быть?

@Nacuott · 15.12.2017, 21:09

DmitryM5, вот геометрическая иллюстрация к задаче, задача сводится к функции от одного параметра (кривой).

См.картинку.

@palva · 15.12.2017, 21:10

Скорее всего множители Лагранжа они проходили. Задача как бы намекает. Но возможны и варианты.

@DmitryM5 · 15.12.2017, 21:12 **[ТС]**

Nacuott,
Так что с этим делать всем добром?)

@Nacuott · 15.12.2017, 21:18

DmitryM5, зачем же брался, если даже не можешь сообразить по визуальной картинке, где максимум, где минимум
и как их найти?

@palva · 15.12.2017, 21:50

Ну делайте по Лагранжу. Там получается многочлен четвертой степени для лямбда. Два локальных максимума, два минимума. Если представлять окружность параметрически, то там тоже трудно. Надо находить нули следующей производной:
-4 (cos(f) + 4 cos(2 f) - 2 sin(f)) Здесь f полярный угол точки окружности, если смотреть из центра окружности. Численные ответы там тоже даются, но их к решению не пришьешь.

@palva · 15.12.2017, 22:00

Пардон, это я дал не производную, а саму функцию экстремумы которой надо находить. Вот ее график.
Но находить нули производной - задача еще та. Скорее всего получится тот же многочлен четвертой степени.

@DmitryM5 · 15.12.2017, 23:14 **[ТС]**

palva, Хм... Сложно..
Я написал первым постом, до куда дошел я в методе Лагранжа.Что подскажите?

@palva · 16.12.2017, 12:29

Сообщение от DmitryM5

Что подскажите?

Ничего не остается, как запастись бумагой и делать.
Используя первые два уравнения можно выразить x, y через лямбда.

@Nacuott · 16.12.2017, 19:24

Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум,
и значение функции в критических точках.
См.картинку.

@DmitryM5 · 17.12.2017, 21:26 **[ТС]**

Сообщение от palva

Ничего не остается, как запастись бумагой и делать.
Используя первые два уравнения можно выразить x, y через лямбда.

Как если x выражается через y и лямбда, а y выражается через x и лямбда...?

Добавлено через 20 секунд

Сообщение от Nacuott

Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум,
и значение функции в критических точках.

Да, но точки эти ведь надо найти.

@palva · 17.12.2017, 21:37

Сообщение от DmitryM5

Как если x выражается через y и лямбда, а y выражается через x и лямбда...?

Так же, как обычно решают системы уравнений. x выраженное через y и лямбда подставить во второе уравнение. Там x уже не будет, а только y и лямбда. Выразить оттуда y через лямбда и с этим y вернуться к первому уравнению.

@Nacuott · 17.12.2017, 22:30

Сообщение от DmitryM5

Да, но точки эти ведь надо найти.

Бери производную (dz/du), приравнивай нулю, находи корни - вот твои критические точки.

@DmitryM5 · 18.12.2017, 21:47 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум,
и значение функции в критических точках.

Я выразил y через x, в уравнении окружности, подставил, потом нашел производную и приравнял к нулю. С помощью вольфрама нашел корни, но они совсем другие.... x1=-0,89... и x2=2.56...
В чем проблема, решения перепроверил я...

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	16.12.2017, 12:29	11
	Сообщение от DmitryM5 Что подскажите? Ничего не остается, как запастись бумагой и делать. Используя первые два уравнения можно выразить x, y через лямбда. 0

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
		1
	Наибольшее и наименьшее значение функции на круге 15.12.2017, 20:03. Показов 2744. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Добрый вечер! $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z={x}^{2}-xy+{y}^{2}-4x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(x-1)}^{2}+{y}^{2}<=4$ Я нашел стационарную точку M(4/3,8/3) , но она не принадлежит области круга. Далее нужна искать точки на границах и для них уже смотреть. Пытался выразить y из уравнения окружности и подставлять в z, но что то там запутался и корни странные получаться в дальнейшем. Еще нашел метод Лагранжа, но x и y просто через лямбду не получается выразить и я остановился.. Ссылка на метод Лагранжа как в примере.. http://math1.ru/education/func... xmin2.html Подскажите пожалуйста что делать? 0

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	15.12.2017, 20:27	2
	Надо как-то определиться. Вам же дали задачу не для того, чтобы вы просто получили ответ. Нужно решить ее определенным методом, о котором вам перед этим рассказывали на лекциях или на занятиях. Поэтому странно читать Сообщение от DmitryM5 Еще нашел метод Лагранжа У вас, значит, не было метода Лагранжа, раз пришлось его искать. Тогда для его применения к этой задаче вам придется его обосновать в ходе решения. Без метода Лагранжа можно задать окружность параметрически. Тогда задача сведется к одномерному случаю. Но вы уж расскажите, какими методами вас учили решать такие задачи. 1

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	15.12.2017, 20:30 [ТС]	3
	palva, Я такое не проходил, это решаю человеку) Думаю он тоже вряд ли знает что они проходили))) Тогда просто вопрос, что делать далее и как лучше быть? 0

@Nacuott 1808 / 1003 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,940 Записей в блоге: 12
	15.12.2017, 21:09	4
	DmitryM5, вот геометрическая иллюстрация к задаче, задача сводится к функции от одного параметра (кривой). См.картинку. Миниатюры 1

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	15.12.2017, 21:10	5
	Скорее всего множители Лагранжа они проходили. Задача как бы намекает. Но возможны и варианты. 0

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	15.12.2017, 21:12 [ТС]	6
	Nacuott, Так что с этим делать всем добром?) 0

@Nacuott 1808 / 1003 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,940 Записей в блоге: 12
	15.12.2017, 21:18	7
	DmitryM5, зачем же брался, если даже не можешь сообразить по визуальной картинке, где максимум, где минимум и как их найти? 0

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	15.12.2017, 21:50	8
	Ну делайте по Лагранжу. Там получается многочлен четвертой степени для лямбда. Два локальных максимума, два минимума. Если представлять окружность параметрически, то там тоже трудно. Надо находить нули следующей производной: -4 (cos(f) + 4 cos(2 f) - 2 sin(f)) Здесь f полярный угол точки окружности, если смотреть из центра окружности. Численные ответы там тоже даются, но их к решению не пришьешь. Миниатюры 1

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	15.12.2017, 22:00	9
	Пардон, это я дал не производную, а саму функцию экстремумы которой надо находить. Вот ее график. Но находить нули производной - задача еще та. Скорее всего получится тот же многочлен четвертой степени. Миниатюры 0

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	15.12.2017, 23:14 [ТС]	10
	palva, Хм... Сложно.. Я написал первым постом, до куда дошел я в методе Лагранжа.Что подскажите? 0

	18.12.2017, 21:47

@Nacuott 1808 / 1003 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,940 Записей в блоге: 12
	16.12.2017, 19:24	12
	Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум, и значение функции в критических точках. См.картинку. Миниатюры 1

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	17.12.2017, 21:26 [ТС]	13
	Сообщение от palva Ничего не остается, как запастись бумагой и делать. Используя первые два уравнения можно выразить x, y через лямбда. Как если x выражается через y и лямбда, а y выражается через x и лямбда...? Добавлено через 20 секунд Сообщение от Nacuott Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум, и значение функции в критических точках. Да, но точки эти ведь надо найти. 0

@palva 4252 / 2948 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,853 Записей в блоге: 4
	17.12.2017, 21:37	14
	Сообщение от DmitryM5 Как если x выражается через y и лямбда, а y выражается через x и лямбда...? Так же, как обычно решают системы уравнений. x выраженное через y и лямбда подставить во второе уравнение. Там x уже не будет, а только y и лямбда. Выразить оттуда y через лямбда и с этим y вернуться к первому уравнению. 0

@Nacuott 1808 / 1003 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,940 Записей в блоге: 12
	17.12.2017, 22:30	15
	Сообщение от DmitryM5 Да, но точки эти ведь надо найти. Бери производную (dz/du), приравнивай нулю, находи корни - вот твои критические точки. 1

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	18.12.2017, 21:47 [ТС]	16
	Сообщение от Nacuott Вот уравнение кривой, которое нужно исследовать на экстремум, и значение функции в критических точках. Я выразил y через x, в уравнении окружности, подставил, потом нашел производную и приравнял к нулю. С помощью вольфрама нашел корни, но они совсем другие.... x1=-0,89... и x2=2.56... В чем проблема, решения перепроверил я... 0