Предел с экспонентой

@Генрисон · Регистрация: 30.10.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Как решать это дело без помощи правила Лопиталя? Пробовал сверху сумму заменить разностью,но ничего не дало. Пробовал в числителе придти к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-x}{(}{e}^{2x}-{1}{)}{-}{2}$ ,но ничего не дало. Пробовал в знаменателе вспомнить эквивалентность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin^{2}{x}\sim {x^{2}}}$ ,но что-то дальше у меня не идёт Можете подсказать ?

@Igor · 30.11.2014, 00:41

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}=1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+o({x}^{2}),\\ \sin x=x+o(x),\ {\sin }^{2}x=(x+o(x))(x+o(x))={x}^{2}+2x\cdot o(x)+o(x)\cdot o(x)={x}^{2}+3o({x}^{2})={x}^{2}+o({x}^{2})={x}^{2}(1+o(1)).$
Осталось додумать.)

@Генрисон · 30.11.2014, 10:35 **[ТС]**

Igor, вы используете ряд Тейлора? А можно как-то без этого?

Байт · 30.11.2014, 10:40

Генрисон, Сверху стоит квадрат гиперболического синуса (учетверенный)

@Igor · 30.11.2014, 10:52

Сообщение от Генрисон

А можно как-то без этого?

Можно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}+{e}^{-x}-2=-({e}^{x}-1)({e}^{-x}-1).$

Байт · 30.11.2014, 11:04

Сообщение от Igor

Можно:

или (e^x/2 - e^-x/2)²

@Генрисон · 30.11.2014, 12:46 **[ТС]**

Igor, а в знаменателе я правильно применил эквивалентность?

@Igor · 30.11.2014, 12:49

Сообщение от Генрисон

а в знаменателе я правильно применил эквивалентность?

ну да, конечно.

@jogano · 30.11.2014, 15:56

Можно вывести гиперболический аналог первого замечательного предела: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}\: \Rightarrow \: \frac{sh x}{x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{1}{e^x}\rightarrow 1, \: x\rightarrow 0$ и следствие из него $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ch x-1}{x^2}\rightarrow \frac{1}{2}, \: x\rightarrow 0$ .
Ваше выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2ch x-2}{\sin^2 x}=2\frac{ch x-1}{x^2}\cdot \left(\frac{x }{\sin x}\right)^2\rightarrow 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1^2=1, \: x\rightarrow 0$

@Генрисон · 30.11.2014, 17:14 **[ТС]**

jogano, всё здорово,но для меня пока ваши слова,как тёмный лес.

@jogano · 30.11.2014, 18:57

Сообщение от Генрисон

для меня пока ваши слова,как тёмный лес

Ладно, зайдём чуть изделека. Есть 2-й замечательный предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+\frac{1}{x} \right)^x\rightarrow e,\: x\rightarrow \infty$ , или, что то же самое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+t \right)^{\frac{1}{t}}\rightarrow e,\: t\rightarrow 0$ .
Отсюда два следствия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\ln\left(1+t \right)}{t}\rightarrow 1,\: t\rightarrow 0$ (получается логарифмированием обеих частей последнего предела по основанию e), и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^t-1}{t}\rightarrow 1,\: t\rightarrow 0$ , получаемое из первого следствия заменой переменных.

Ваше подлимитное выражение равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{2x}+1-2e^x}{e^x \sin^2x}=\frac{\left( e^x-1\right)^2}{e^x \sin^2x}$ . Это неопределённость вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ . Связываем выражения в числителе и знаменателе, которые стремятся к 0, со степенями х, чтобы избавиться от неопределённости. В числителе - используя второе следствие из 2-го замечательного предела (см. выше), а в знаменателе - 1-й замечательный предел.

@Генрисон · 30.11.2014, 22:22 **[ТС]**

jogano, стало понятнее,спасибо

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
		1
	Предел с экспонентой 29.11.2014, 23:19. Показов 6787. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Как решать это дело без помощи правила Лопиталя? Пробовал сверху сумму заменить разностью,но ничего не дало. Пробовал в числителе придти к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{-x}{(}{e}^{2x}-{1}{)}{-}{2}$ ,но ничего не дало. Пробовал в знаменателе вспомнить эквивалентность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin^{2}{x}\sim {x^{2}}}$ ,но что-то дальше у меня не идёт Можете подсказать ? Миниатюры 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	30.11.2014, 00:41	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}=1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+o({x}^{2}),\\ \sin x=x+o(x),\ {\sin }^{2}x=(x+o(x))(x+o(x))={x}^{2}+2x\cdot o(x)+o(x)\cdot o(x)={x}^{2}+3o({x}^{2})={x}^{2}+o({x}^{2})={x}^{2}(1+o(1)).$ Осталось додумать.) 1

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
	30.11.2014, 10:35 [ТС]	3
	Igor, вы используете ряд Тейлора? А можно как-то без этого? 0

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	30.11.2014, 10:40	4
	Генрисон, Сверху стоит квадрат гиперболического синуса (учетверенный) 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	30.11.2014, 10:52	5
	Сообщение от Генрисон А можно как-то без этого? Можно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}+{e}^{-x}-2=-({e}^{x}-1)({e}^{-x}-1).$ 2

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	30.11.2014, 11:04	6
	Сообщение от Igor Можно: или (e^x/2 - e^-x/2)² 3

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
	30.11.2014, 12:46 [ТС]	7
	Igor, а в знаменателе я правильно применил эквивалентность? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	30.11.2014, 12:49	8
	Сообщение от Генрисон а в знаменателе я правильно применил эквивалентность? ну да, конечно. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.11.2014, 15:56	9
	Можно вывести гиперболический аналог первого замечательного предела: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}\: \Rightarrow \: \frac{sh x}{x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{1}{e^x}\rightarrow 1, \: x\rightarrow 0$ и следствие из него $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ch x-1}{x^2}\rightarrow \frac{1}{2}, \: x\rightarrow 0$ . Ваше выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2ch x-2}{\sin^2 x}=2\frac{ch x-1}{x^2}\cdot \left(\frac{x }{\sin x}\right)^2\rightarrow 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1^2=1, \: x\rightarrow 0$ 2

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
	30.11.2014, 17:14 [ТС]	10
	jogano, всё здорово,но для меня пока ваши слова,как тёмный лес. 0

	30.11.2014, 22:22

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.11.2014, 18:57	11
	Сообщение от Генрисон для меня пока ваши слова,как тёмный лес Ладно, зайдём чуть изделека. Есть 2-й замечательный предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+\frac{1}{x} \right)^x\rightarrow e,\: x\rightarrow \infty$ , или, что то же самое, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1+t \right)^{\frac{1}{t}}\rightarrow e,\: t\rightarrow 0$ . Отсюда два следствия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\ln\left(1+t \right)}{t}\rightarrow 1,\: t\rightarrow 0$ (получается логарифмированием обеих частей последнего предела по основанию e), и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^t-1}{t}\rightarrow 1,\: t\rightarrow 0$ , получаемое из первого следствия заменой переменных. Ваше подлимитное выражение равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{2x}+1-2e^x}{e^x \sin^2x}=\frac{\left( e^x-1\right)^2}{e^x \sin^2x}$ . Это неопределённость вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ . Связываем выражения в числителе и знаменателе, которые стремятся к 0, со степенями х, чтобы избавиться от неопределённости. В числителе - используя второе следствие из 2-го замечательного предела (см. выше), а в знаменателе - 1-й замечательный предел. 2

@Генрисон 4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 347
	30.11.2014, 22:22 [ТС]	12
	jogano, стало понятнее,спасибо 0