На прямой найти точку, равноудаленную от двух заданных точек

@Melodic · Регистрация: 29.12.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Задачи, вроде как, легкие. Но, как бы я не решил (решал с помощью формулы квадрата расстояния между двумя точками) все равно ответ получается не тот что в книге. Есть вероятность что ошибается не книжка, а я сам. Поэтому, хотелось бы увидеть как математики бы это решили. Заранее всем спасибо за помощь.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)$ На прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x+3y-12=0$ найти точку равноудаленную от двух заданных точек $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;-2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1;4)$
Решение:
Т.к. они равноудаленные, то можно считать скажем, что точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O$ находится на середине прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ , из этого вывод что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AO=BO$ .
Т.е. на помощь приходит формула расстояния между двумя точками: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{(x+1)}^{2}+{(y+2)}^{2}} = \sqrt{{(x-1)}^{2}+{(y-4)}^{2}}$ .
Решая, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x+12y-12=0$ .
Сделаем систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+3y-3=0;\\ 4x+3y-12=0;\end{matrix}\right.$
После решения, у нас получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3; 0)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2)$ На прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3x+2y-5=0$ найти точку равноудаленную от двух заданных точек $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;-1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3;3)$
Все так же:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{(x+1)}^{2}+{(y+1)}^{2}} = \sqrt{{(x-3)}^{2}+{(y-3)}^{2}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+y-8=0;\\ 3x+2y-5=0;\end{matrix}\right.$
Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-11; 19)<br />$

Но, дело в том, что в обеих случаях ответ неверный (по книжке). В книжке ответы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1) (1;1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(\frac{11}{6};\frac{1}{6})$

Может быть я думаю как-то не правильно? Может надо сделать по другому? Или же все таки ошибка в книжке? Помогите, пожалуйста )).

@jogano · 30.12.2018, 00:04

Ответы ваш и книжный можно проверить, найдя эти расстояния. По книжному ответу расстояния равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{0^2+3^2}=\sqrt{9}=3$ , т.е. книжный ответ не правильный. А если проверить ваш ответ, то расстояния будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$ , то есть у вас правильно.
Решать можно по-разному. Например, есть точки А и В, и прямая ax+by+c=0
Вузовский метод.
Уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(X-\frac{A+B}{2},B-A \right)=0$
Уравнение данной прямой тоже через скалярное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(X,\bar{\left(a;b \right)} \right)=-c$ . Выходит линейная система для поиска пересечения этих двух прямых - точки Х:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(X,B-A \right)=\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ \left(X,\bar{\left(a;b \right)} \right)=-c \end{cases}$ , которая в матричной форме имеет вид
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}B-A \\ a & b\end{pmatrix}X^T=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ -c\end{pmatrix} \: \Rightarrow \: X^T=\begin{pmatrix}B-A \\ a & b\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ -c\end{pmatrix}$
В числах это будет
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X^T=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 4 & 3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(\bar{\left( 0;2\right)},\bar{\left( 2;6\right)} \right)\\ 12\end{pmatrix}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}3 & -6\\ -4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\ 12\end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & -6\\ -4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-9\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}$ , то есть ваш ответ.

@Melodic 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2018 Сообщений: 1
		1
	На прямой найти точку, равноудаленную от двух заданных точек 29.12.2018, 22:49. Показов 33647. Ответов 1 Метки аналитическая геометрия, векторы, координаты (Все метки) Задачи, вроде как, легкие. Но, как бы я не решил (решал с помощью формулы квадрата расстояния между двумя точками) все равно ответ получается не тот что в книге. Есть вероятность что ошибается не книжка, а я сам. Поэтому, хотелось бы увидеть как математики бы это решили. Заранее всем спасибо за помощь. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)$ На прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x+3y-12=0$ найти точку равноудаленную от двух заданных точек $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;-2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1;4)$ Решение: Т.к. они равноудаленные, то можно считать скажем, что точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O$ находится на середине прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ , из этого вывод что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AO=BO$ . Т.е. на помощь приходит формула расстояния между двумя точками: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{(x+1)}^{2}+{(y+2)}^{2}} = \sqrt{{(x-1)}^{2}+{(y-4)}^{2}}$ . Решая, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x+12y-12=0$ . Сделаем систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+3y-3=0;\\ 4x+3y-12=0;\end{matrix}\right.$ После решения, у нас получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3; 0)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2)$ На прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3x+2y-5=0$ найти точку равноудаленную от двух заданных точек $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;-1)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3;3)$ Все так же: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{(x+1)}^{2}+{(y+1)}^{2}} = \sqrt{{(x-3)}^{2}+{(y-3)}^{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x+y-8=0;\\ 3x+2y-5=0;\end{matrix}\right.$ Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-11; 19)<br />$ Но, дело в том, что в обеих случаях ответ неверный (по книжке). В книжке ответы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1) (1;1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(\frac{11}{6};\frac{1}{6})$ Может быть я думаю как-то не правильно? Может надо сделать по другому? Или же все таки ошибка в книжке? Помогите, пожалуйста )). 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	30.12.2018, 00:04	2
	Сообщение было отмечено Melodic как решение Решение Ответы ваш и книжный можно проверить, найдя эти расстояния. По книжному ответу расстояния равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{0^2+3^2}=\sqrt{9}=3$ , т.е. книжный ответ не правильный. А если проверить ваш ответ, то расстояния будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$ , то есть у вас правильно. Решать можно по-разному. Например, есть точки А и В, и прямая ax+by+c=0 Вузовский метод. Уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(X-\frac{A+B}{2},B-A \right)=0$ Уравнение данной прямой тоже через скалярное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(X,\bar{\left(a;b \right)} \right)=-c$ . Выходит линейная система для поиска пересечения этих двух прямых - точки Х: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(X,B-A \right)=\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ \left(X,\bar{\left(a;b \right)} \right)=-c \end{cases}$ , которая в матричной форме имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}B-A \\ a & b\end{pmatrix}X^T=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ -c\end{pmatrix} \: \Rightarrow \: X^T=\begin{pmatrix}B-A \\ a & b\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(A+B,B-A \right)\\ -c\end{pmatrix}$ В числах это будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X^T=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 4 & 3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(\bar{\left( 0;2\right)},\bar{\left( 2;6\right)} \right)\\ 12\end{pmatrix}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}3 & -6\\ -4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\ 12\end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & -6\\ -4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-9\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}$ , то есть ваш ответ. 1